Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8600 / 5240
↖ ↑ ↗
← N 54.265224°
E  8.964844°		 ← 1 426.96 m → N 54.265224°
E  8.986817°		 →
↑
1 427.17 m
↓
↑
1 427.17 m
↓
N 54.252389°
E  8.964844°		 ← 1 427.40 m →
2 036 825 m²		 N 54.252389°
E  8.986817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524932861328125 y=0.319854736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524932861328125 × 214)
    floor (0.524932861328125 × 16384)
    floor (8600.5)     		tx = 8600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319854736328125 × 214)
    floor (0.319854736328125 × 16384)
    floor (5240.5)     		ty = 5240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8600 / 5240 ti = "14/8600/5240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8600/5240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8600 ÷ 214
    8600 ÷ 16384     		x = 0.52490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5240 ÷ 214
    5240 ÷ 16384     		y = 0.31982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52490234375 × 2 - 1) × π
    0.0498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15646604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31982421875 × 2 - 1) × π
    0.3603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13207782142725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15646604} λ = 0.15646604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13207782142725))-π/2
    2×atan(3.10209540866655)-π/2
    2×1.25895157814009-π/2
    2.51790315628017-1.57079632675     		φ = 0.94710683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15646604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.964844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94710683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.265224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8600 KachelY 5240 0.15646604 0.94710683 8.964844 54.265224
    Oben rechts KachelX + 1 8601 KachelY 5240 0.15684954 0.94710683 8.986817 54.265224
    Unten links KachelX 8600 KachelY + 1 5241 0.15646604 0.94688282 8.964844 54.252389
    Unten rechts KachelX + 1 8601 KachelY + 1 5241 0.15684954 0.94688282 8.986817 54.252389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94710683-0.94688282) × R
    0.000224009999999941 × 6371000     		dl = 1427.16770999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94710683-0.94688282) × R
    0.000224009999999941 × 6371000     		dr = 1427.16770999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15646604-0.15684954) × cos(0.94710683) × R
    0.000383500000000009 × 0.584034001048921 × 6371000     		do = 1426.95771803184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15646604-0.15684954) × cos(0.94688282) × R
    0.000383500000000009 × 0.584215821850764 × 6371000     		du = 1427.40195688783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94710683)-sin(0.94688282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584034001048921-0.584215821850764)×R²
    abs(0.15684954-0.15646604)×0.000181820801843258×R²
    0.000383500000000009×0.000181820801843258×6371000²
    0.000383500000000009×0.000181820801843258×40589641000000     		ar = 2036824.98890209m²