Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8900 / 5828
↖ ↑ ↗
← N 46.012224°
E 15.556641°		 ← 1 696.82 m → N 46.012224°
E 15.578613°		 →
↑
1 697.04 m
↓
↑
1 697.04 m
↓
N 45.996962°
E 15.556641°		 ← 1 697.29 m →
2 879 982 m²		 N 45.996962°
E 15.578613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543243408203125 y=0.355743408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543243408203125 × 214)
    floor (0.543243408203125 × 16384)
    floor (8900.5)     		tx = 8900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.355743408203125 × 214)
    floor (0.355743408203125 × 16384)
    floor (5828.5)     		ty = 5828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8900 / 5828 ti = "14/8900/5828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8900/5828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8900 ÷ 214
    8900 ÷ 16384     		x = 0.543212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5828 ÷ 214
    5828 ÷ 16384     		y = 0.355712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543212890625 × 2 - 1) × π
    0.08642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27151460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.355712890625 × 2 - 1) × π
    0.28857421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.906582645614502
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27151460} λ = 0.27151460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.906582645614502))-π/2
    2×atan(2.47584721271561)-π/2
    2×1.18693056448028-π/2
    2.37386112896057-1.57079632675     		φ = 0.80306480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27151460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.556641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80306480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.012224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8900 KachelY 5828 0.27151460 0.80306480 15.556641 46.012224
    Oben rechts KachelX + 1 8901 KachelY 5828 0.27189809 0.80306480 15.578613 46.012224
    Unten links KachelX 8900 KachelY + 1 5829 0.27151460 0.80279843 15.556641 45.996962
    Unten rechts KachelX + 1 8901 KachelY + 1 5829 0.27189809 0.80279843 15.578613 45.996962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80306480-0.80279843) × R
    0.000266370000000071 × 6371000     		dl = 1697.04327000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80306480-0.80279843) × R
    0.000266370000000071 × 6371000     		dr = 1697.04327000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27151460-0.27189809) × cos(0.80306480) × R
    0.000383489999999986 × 0.694504887761444 × 6371000     		do = 1696.82461350599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27151460-0.27189809) × cos(0.80279843) × R
    0.000383489999999986 × 0.694696513135207 × 6371000     		du = 1697.29279545331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80306480)-sin(0.80279843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694504887761444-0.694696513135207)×R²
    abs(0.27189809-0.27151460)×0.000191625373762272×R²
    0.000383489999999986×0.000191625373762272×6371000²
    0.000383489999999986×0.000191625373762272×40589641000000     		ar = 2879982.07026098m²