Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / **531** / **342**
↖	↑			↗
←	`N 51.179343° E 6.679688°`	← 24.506 km →	`N 51.179343° E 7.031250°`	→
	↑ 24.565 km ↓		↑ 24.565 km ↓
	`N 50.958427° E 6.679688°`	← 24.623 km → 603.428 km²	`N 50.958427° E 7.031250°`
↙	↓			↘

Die Berechnung

Aus der URL werden die geographischen Koordinaten übernommen:

Name	Parameter	Wert	Wertebereich	Erklärung zum Wertebereich
Länge in Grad	`lon`	6.8655°	-180°…+180°	Die Merkatortransformation läßt die Länge unverändert, vergrößert aber die Breite. Der Wertebereich der Breite ist so gewählt, dass die Transformation den erlaubten Bereich von Länge und Breite auf eine quadratische Fläche abbildet. Wenn jemand Sie fragen sollte, wie das Limit für die Breite berechnet wird: der ist, Taschenrechner flugs auf Degrees eingestellt, E hoch PI, davon der Arcus Tangens mal zwei, das Ganze minus 90°. Mit PHP: php -r 'echo 2atan(exp(pi())) 180/pi() - 90;', mit JavaScript 2Math.atan(Math.exp(Math.PI)) 180/Math.PI - 90.
Breite in Grad	`lat`	51.1578°	-85°…+85°
Vergrößerungsstufe	`zoom`	10	0…	Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.

Länge und Breite werden in das Bogenmaß umgerechnet (Multiplikation mit π/180°):

Name	Formel	Berechnung	Ergebnis
Länge (λ)	Länge in Grad × π ÷ 180°	6.8655 × 3.1415926535 ÷ 180	λ = 0.119825579792246
Breite (φ)	Breite in Grad × π ÷ 180°	51.1578 × 3.1415926535 ÷ 180	φ = 0.892872048051235

Länge und Breite werden durch die Mercator-Projektion transformiert:

Name	Formel	Berechnung	Ergebnis
Länge (Λ)	λ (unverändert)	0.119825579792246}	Λ = 0.119825579792246}
Breite (Φ)	log (tan φ + sec φ) = log (tan φ + 1/cos φ)	log (tan 0.892872048051235 + 1/cos 0.892872048051235) = log 1.24187500346969 + 1/0.627177646342629) = log 1.24187500346969 + 1.59444458174088) = log 2.83631958521056	Φ = 1.04250729104121

Länge und Breite werden in das Karten-Koordinatensystem transformiert.
Dieses beginnt links oben mit [0,0] und endet rechts unten mit [1,1]:

Name	Formel	Berechnung	Ergebnis
X-Position (x)	(1 + Λ/π) ÷ 2	(1 + 0.119825579792246/3.1415926535) ÷ 2	x = 0.519070833333333
Y-Position (y)	(1 - Φ/π) ÷ 2	(1 - 1.04250729104121/3.1415926535) ÷ 2	y = 0.334079811416708

Aus der Kartenposition x=0.519070833333333 y=0.334079811416708 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:

Name	Formel	Berechnung	Ergebnis
Kachel-X (tx)	floor (x × 2^zoom)	floor (0.519070833333333 × 2¹⁰) floor (0.519070833333333 × 1024) floor (531.528533333333)	tx = 531
Kachel-Y (ty)	floor (y × 2^zoom)	floor (0.334079811416708 × 2¹⁰) floor (0.334079811416708 × 1024) floor (342.097726890709)	ty = 342
Kachel-Pfad (ti)	"zoom/tx/tz"	10 / 531 / 342	ti = "10/531/342"

Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/531/342.png und Kaffeepause.

Aus den Nachkommastellen 0.528533333333371 und 0.0977268907086 sowie der Kachelgröße in Pixeln tilesize=256 berechnen wir die Position des Markers:

Name	Formel	Berechnung	Ergebnis
Marker-X (px)	floor (fract (x × 2^zoom) * tilesize)	floor (fract (0.519070833333333 × 2¹⁰) × 256) floor (fract (0.519070833333333 × 1024) × 256) floor (fract (531.528533333333) × 256) floor (0.528533333333371 × 256) floor (135.304533333343)	px = 135
Marker-Y (py)	floor (fract (y × 2^zoom) * tilesize)	floor (fract (0.334079811416708 × 2¹⁰) × 256) floor (fract (0.334079811416708 × 1024) × 256) floor (fract (342.097726890709) × 256) floor (0.0977268907086 × 256) floor (25.0180840214016)	py = 25

Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.

Name	Formel	Berechnung	Ergebnis
X-Position (x)	tx ÷ 2^tz	531 ÷ 2¹⁰ 531 ÷ 1024	x = 0.5185546875
Y-Position (y)	ty ÷ 2^tz	342 ÷ 2¹⁰ 342 ÷ 1024	y = 0.333984375
Länge (Λ) (Merkator)	+(x × 2 - 1) × π	+(0.5185546875 × 2 - 1) × π 0.037109375 × 3.1415926535	Λ = 0.11658254
Breite (Φ) (Merkator)	-(y × 2 - 1) × π	-(0.333984375 × 2 - 1) × π 0.33203125 × 3.1415926535	Φ = 1.04310693573242
Länge (λ)	Λ (unverändert)	0.11658254}	λ = 0.11658254}
Breite (φ)	2×atan(exp(Φ))-π/2	2×atan(exp(1.04310693573242))-π/2 2×atan(2.8380208792274)-π/2 2×1.23202218538612-π/2 2.46404437077225-1.57079632675	φ = 0.89324804
Länge in Grad	λ ÷ π × 180°	0.11658254} ÷ 3.1415926535 × 180°	lon = 6.679688°
Breite in Grad	φ ÷ π × 180°	0.89324804 ÷ 3.1415926535 × 180°	lat = 51.179343°

Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:

Ecke	tx		ty		λ	φ	Länge in Grad	Breite in Grad
Oben links	KachelX	531	KachelY	342	0.11658254	0.89324804	6.679688	51.179343
Oben rechts	KachelX + 1	532	KachelY	342	0.12271846	0.89324804	7.031250	51.179343
Unten links	KachelX	531	KachelY + 1	343	0.11658254	0.88939233	6.679688	50.958427
Unten rechts	KachelX + 1	532	KachelY + 1	343	0.12271846	0.88939233	7.031250	50.958427

Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:

Name	Formel	Berechnung	Ergebnis
Linke Seite	abs(φ_OL-φ_UL) × R	abs(0.89324804-0.88939233) × R 0.00385571000000007 × 6371000	dl = 24564.7284100004m
Rechte Seite	abs(φ_OR-φ_UR) × R	abs(0.89324804-0.88939233) × R 0.00385571000000007 × 6371000	dr = 24564.7284100004m
Obere Seite	abs(λ_OL-λ_OR) × cos(φ_OL) × R	abs(0.11658254-0.12271846) × cos(0.89324804) × R 0.00613592 × 0.626884750821521 × 6371000	do = 24506.1450279415m
Untere Seite	abs(λ_UL-λ_UR) × cos(φ_UL) × R	abs(0.11658254-0.12271846) × cos(0.88939233) × R 0.00613592 × 0.629884113524226 × 6371000	du = 24623.3959537099m

Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:

Name	Formel	Berechnung	Ergebnis
Fläche	abs(λ₁-λ₂)×abs(sinφ₁-sinφ₂)×R²	abs(λ₁-λ₂)×abs(sin(0.89324804)-sin(0.88939233))×R² abs(λ₁-λ₂)×abs(0.626884750821521-0.629884113524226)×R² abs(0.12271846-0.11658254)×0.00299936270270573×R² 0.00613592×0.00299936270270573×6371000² 0.00613592×0.00299936270270573×40589641000000	ar = 603427663.132737m²