Motto:
Student: Herr Professor, können Sie uns zu diesem Beweis auch ein Beispiel vorrechnen?
Professor: Mit diesem Beweis habe ich Ihnen bereits alle Beispiele vorgerechnet.

Kachel 14/8504/5473 · Netzwolfs Kachelbrowser

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14 / 8504 / 5473
N 51.165567°
E  6.855469°
← 1 532.09 m → N 51.165567°
E  6.877441°

1 532.32 m

1 532.32 m
N 51.151786°
E  6.855469°
← 1 532.55 m →
2 348 009 m²
N 51.151786°
E  6.877441°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die geographischen Koordinaten übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Länge in Grad lon 6.8655° -180°…+180° Die Merkatortransformation läßt die Länge unverändert, vergrößert aber die Breite. Der Wertebereich der Breite ist so gewählt, dass die Transformation den erlaubten Bereich von Länge und Breite auf eine quadratische Fläche abbildet.
    Breite in Grad lat 51.1578° -85°…+85°
    Vergrößerungsstufe zoom 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
  2. Länge und Breite werden in das Bogenmaß umgerechnet (Multiplikation mit π/180°):
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Länge (λ) Länge in Grad × π ÷ 180° 6.8655 × 3.1415926535 ÷ 180 λ = 0.11982557979225
    Breite (φ) Breite in Grad × π ÷ 180° 51.1578 × 3.1415926535 ÷ 180 φ = 0.89287204805124
  3. Länge und Breite werden durch die Mercator-Projektion transformiert:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Länge (Λ) λ (unverändert) 0.11982557979225 Λ = 0.11982557979225
    Breite (Φ) log (tan φ + sec φ) =
    log (tan φ + 1/cos φ)
    log (tan 0.89287204805124 + 1/cos 0.89287204805124) =
    log (1.2418750034697 + 1/0.62717764634263) =
    log (1.2418750034697 + 1.5944445817409) =
    log 2.8363195852106
    Φ = 1.0425072910412
  4. Länge und Breite werden in das Karten-Koordinatensystem transformiert.
    Dieses beginnt links oben mit [0,0] und endet rechts unten mit [1,1]:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) (1 + Λ/π) ÷ 2 (1 + 0.11982557979225/3.1415926535) ÷ 2 x = 0.51907083333333
    Y-Position (y) (1 - Φ/π) ÷ 2 (1 - 1.0425072910412/3.1415926535) ÷ 2 y = 0.33407981141671
  5. Aus der Kartenposition x=0.51907083333333 y=0.33407981141671 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51907083333333 × 214)
    floor (0.51907083333333 × 16384)
    floor (8504.4565333333)
    tx = 8504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33407981141671 × 214)
    floor (0.33407981141671 × 16384)
    floor (5473.5636302513)
    ty = 5473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8504 / 5473 ti = "14/8504/5473"
  6. Anzeige der Kachel http://a.tile.openstreetmap.org/14/8504/5473.png und Kaffeepause
  7. Aus den Nachkommastellen 0.45653333333394 und 0.5636302513376 sowie der Kachelgröße in Pixeln tilesize=256 berechnen wir die Position des Markers:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Marker-X (px) floor (fract (x × 2zoom) * tilesize) floor (fract (0.51907083333333 × 214) × 256)
    floor (fract (0.51907083333333 × 16384) × 256)
    floor (fract (8504.4565333333) × 256)
    floor (0.45653333333394 × 256)
    floor (116.87253333349)
    px = 116
    Marker-Y (py) floor (fract (y × 2zoom) * tilesize) floor (fract (0.33407981141671 × 214) × 256)
    floor (fract (0.33407981141671 × 16384) × 256)
    floor (fract (5473.5636302513) × 256)
    floor (0.5636302513376 × 256)
    floor (144.28934434243)
    py = 144
  8. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8504 ÷ 214
    8504 ÷ 16384
    x = 0.51904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5473 ÷ 214
    5473 ÷ 16384
    y = 0.33404541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.51904296875 × 2 - 1) × π
    0.0380859375 × 3.1415926535
    Λ = 0.11965050145166
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.33404541015625 × 2 - 1) × π
    0.3319091796875 × 3.1415926535
    Φ = 1.0427234405355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11965050145166 λ = 0.11965050145166
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0427234405355))-π/2
    2×atan(2.8369327205165)-π/2
    2×1.231901963783-π/2
    2.4638039275661-1.57079632675
    φ = 0.89300760081606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11965050145166 ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.85546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89300760081606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.165566601326°
  9. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8504 KachelY 5473 0.11965050145166 0.89300760081606 6.85546875 51.165566601326
    Oben rechts KachelX + 1 8505 KachelY 5473 0.12003399664862 0.89300760081606 6.87744140625 51.165566601326
    Unten links KachelX 8504 KachelY + 1 5474 0.11965050145166 0.89276708577204 6.85546875 51.151786104394
    Unten rechts KachelX + 1 8505 KachelY + 1 5474 0.12003399664862 0.89276708577204 6.87744140625 51.151786104394
  10. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.89300760081606-0.89276708577204) × R
    0.0002405150440139 × 6371000
    dl = 1532.3213454126m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.89300760081606-0.89276708577204) × R
    0.0002405150440139 × 6371000
    dr = 1532.3213454126m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.11965050145166-0.12003399664862) × cos(0.89300760081606) × R
    0.00038349519696045 × 0.62707206175288 × 6371000
    do = 1532.0924979229m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.11965050145166-0.12003399664862) × cos(0.89276708577204) × R
    0.00038349519696045 × 0.62725939551319 × 6371000
    du = 1532.5502007394m
  11. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ12)×abs(sin(0.89300760081606)-sin(0.89276708577204))×R²
    abs(λ12)×abs(0.62707206175288-0.62725939551319)×R²
    abs(0.12003399664862-0.11965050145166)×0.00018733376030811×R²
    0.00038349519696045×0.00018733376030811×6371000²
    0.00038349519696045×0.00018733376030811×40589641000000
    ar = 2348008.7229292m²

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