Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17008 / 10947
N 51.158677°
E  6.855469°
← 766.17 m → N 51.158677°
E  6.866455°

766.18 m

766.18 m
N 51.151786°
E  6.855469°
← 766.28 m →
587 065 m²
N 51.151786°
E  6.866455°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die geographischen Koordinaten übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Länge in Grad lon 6.8655° -180°…+180° Die Merkatortransformation läßt die Länge unverändert, vergrößert aber die Breite. Der Wertebereich der Breite ist so gewählt, dass die Transformation den erlaubten Bereich von Länge und Breite auf eine quadratische Fläche abbildet. Wenn jemand Sie fragen sollte, wie das Limit für die Breite berechnet wird: der ist, Taschenrechner flugs auf Degrees eingestellt, E hoch PI, davon der Arcus Tangens mal zwei, das Ganze minus 90°. Mit PHP: php -r 'echo 2*atan(exp(pi())) * 180/pi() - 90;', mit JavaScript 2*Math.atan(Math.exp(Math.PI)) * 180/Math.PI - 90.
    Breite in Grad lat 51.1578° -85°…+85°
    Vergrößerungsstufe zoom 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
  2. Länge und Breite werden in das Bogenmaß umgerechnet (Multiplikation mit π/180°):
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Länge (λ) Länge in Grad × π ÷ 180° 6.8655 × 3.1415926535 ÷ 180 λ = 0.119825579792246
    Breite (φ) Breite in Grad × π ÷ 180° 51.1578 × 3.1415926535 ÷ 180 φ = 0.892872048051235
  3. Länge und Breite werden durch die Mercator-Projektion transformiert:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Länge (Λ) λ (unverändert) 0.119825579792246} Λ = 0.119825579792246}
    Breite (Φ) log (tan φ + sec φ) =
    log (tan φ + 1/cos φ)
    log (tan 0.892872048051235 + 1/cos 0.892872048051235) =
    log 1.24187500346969 + 1/0.627177646342629) =
    log 1.24187500346969 + 1.59444458174088) =
    log 2.83631958521056
    Φ = 1.04250729104121
  4. Länge und Breite werden in das Karten-Koordinatensystem transformiert.
    Dieses beginnt links oben mit [0,0] und endet rechts unten mit [1,1]:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) (1 + Λ/π) ÷ 2 (1 + 0.119825579792246/3.1415926535) ÷ 2 x = 0.519070833333333
    Y-Position (y) (1 - Φ/π) ÷ 2 (1 - 1.04250729104121/3.1415926535) ÷ 2 y = 0.334079811416708
  5. Aus der Kartenposition x=0.519070833333333 y=0.334079811416708 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519070833333333 × 215)
    floor (0.519070833333333 × 32768)
    floor (17008.9130666667)
    tx = 17008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334079811416708 × 215)
    floor (0.334079811416708 × 32768)
    floor (10947.1272605027)
    ty = 10947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17008 / 10947 ti = "15/17008/10947"
  6. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17008/10947.png und Kaffeepause.
  7. Aus den Nachkommastellen 0.913066666667874 und 0.127260502675199 sowie der Kachelgröße in Pixeln tilesize=256 berechnen wir die Position des Markers:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Marker-X (px) floor (fract (x × 2zoom) * tilesize) floor (fract (0.519070833333333 × 215) × 256)
    floor (fract (0.519070833333333 × 32768) × 256)
    floor (fract (17008.9130666667) × 256)
    floor (0.913066666667874 × 256)
    floor (233.745066666976)
    px = 233
    Marker-Y (py) floor (fract (y × 2zoom) * tilesize) floor (fract (0.334079811416708 × 215) × 256)
    floor (fract (0.334079811416708 × 32768) × 256)
    floor (fract (10947.1272605027) × 256)
    floor (0.127260502675199 × 256)
    floor (32.5786886848509)
    py = 32
  8. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17008 ÷ 215
    17008 ÷ 32768
    x = 0.51904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10947 ÷ 215
    10947 ÷ 32768
    y = 0.334075927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.51904296875 × 2 - 1) × π
    0.0380859375 × 3.1415926535
    Λ = 0.11965050
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.334075927734375 × 2 - 1) × π
    0.33184814453125 × 3.1415926535
    Φ = 1.04253169293698
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11965050} λ = 0.11965050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04253169293698))-π/2
    2×atan(2.83638879762991)-π/2
    2×1.23184183951212-π/2
    2.46368367902425-1.57079632675
    φ = 0.89288735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11965050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.855469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89288735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.158677°
  9. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17008 KachelY 10947 0.11965050 0.89288735 6.855469 51.158677
    Oben rechts KachelX + 1 17009 KachelY 10947 0.11984225 0.89288735 6.866455 51.158677
    Unten links KachelX 17008 KachelY + 1 10948 0.11965050 0.89276709 6.855469 51.151786
    Unten rechts KachelX + 1 17009 KachelY + 1 10948 0.11984225 0.89276709 6.866455 51.151786
  10. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.89288735-0.89276709) × R
    0.000120259999999983 × 6371000
    dl = 766.176459999893m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.89288735-0.89276709) × R
    0.000120259999999983 × 6371000
    dr = 766.176459999893m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.11965050-0.11984225) × cos(0.89288735) × R
    0.000191749999999991 × 0.627165727944857 × 6371000
    do = 766.170269512222m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.11965050-0.11984225) × cos(0.89276709) × R
    0.000191749999999991 × 0.627259392220409 × 6371000
    du = 766.284693467558m
  11. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.89288735)-sin(0.89276709))×
    abs(λ12)×abs(0.627165727944857-0.627259392220409)×
    abs(0.11984225-0.11965050)×9.36642755514638e-05×
    0.000191749999999991×9.36642755514638e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.36642755514638e-05×40589641000000
    ar = 587065.460029615m²