Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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9 / 265 / 171
N 51.179343°
E  6.328125°
← 49.012 km → N 51.179343°
E  7.031250°

49.247 km

49.247 km
N 50.736455°
E  6.328125°
← 49.482 km →
2 425.27 km²
N 50.736455°
E  7.031250°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die geographischen Koordinaten übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Länge in Grad lon 6.8655° -180°…+180° Die Merkatortransformation läßt die Länge unverändert, vergrößert aber die Breite. Der Wertebereich der Breite ist so gewählt, dass die Transformation den erlaubten Bereich von Länge und Breite auf eine quadratische Fläche abbildet. Wenn jemand Sie fragen sollte, wie das Limit für die Breite berechnet wird: der ist, Taschenrechner flugs auf Degrees eingestellt, E hoch PI, davon der Arcus Tangens mal zwei, das Ganze minus 90°. Mit PHP: php -r 'echo 2*atan(exp(pi())) * 180/pi() - 90;', mit JavaScript 2*Math.atan(Math.exp(Math.PI)) * 180/Math.PI - 90.
    Breite in Grad lat 51.1578° -85°…+85°
    Vergrößerungsstufe zoom 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
  2. Länge und Breite werden in das Bogenmaß umgerechnet (Multiplikation mit π/180°):
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Länge (λ) Länge in Grad × π ÷ 180° 6.8655 × 3.1415926535 ÷ 180 λ = 0.119825579792246
    Breite (φ) Breite in Grad × π ÷ 180° 51.1578 × 3.1415926535 ÷ 180 φ = 0.892872048051235
  3. Länge und Breite werden durch die Mercator-Projektion transformiert:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Länge (Λ) λ (unverändert) 0.119825579792246} Λ = 0.119825579792246}
    Breite (Φ) log (tan φ + sec φ) =
    log (tan φ + 1/cos φ)
    log (tan 0.892872048051235 + 1/cos 0.892872048051235) =
    log 1.24187500346969 + 1/0.627177646342629) =
    log 1.24187500346969 + 1.59444458174088) =
    log 2.83631958521056
    Φ = 1.04250729104121
  4. Länge und Breite werden in das Karten-Koordinatensystem transformiert.
    Dieses beginnt links oben mit [0,0] und endet rechts unten mit [1,1]:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) (1 + Λ/π) ÷ 2 (1 + 0.119825579792246/3.1415926535) ÷ 2 x = 0.519070833333333
    Y-Position (y) (1 - Φ/π) ÷ 2 (1 - 1.04250729104121/3.1415926535) ÷ 2 y = 0.334079811416708
  5. Aus der Kartenposition x=0.519070833333333 y=0.334079811416708 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519070833333333 × 29)
    floor (0.519070833333333 × 512)
    floor (265.764266666667)
    tx = 265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334079811416708 × 29)
    floor (0.334079811416708 × 512)
    floor (171.048863445354)
    ty = 171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 265 / 171 ti = "9/265/171"
  6. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/265/171.png und Kaffeepause.
  7. Aus den Nachkommastellen 0.764266666666686 und 0.0488634453543 sowie der Kachelgröße in Pixeln tilesize=256 berechnen wir die Position des Markers:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Marker-X (px) floor (fract (x × 2zoom) * tilesize) floor (fract (0.519070833333333 × 29) × 256)
    floor (fract (0.519070833333333 × 512) × 256)
    floor (fract (265.764266666667) × 256)
    floor (0.764266666666686 × 256)
    floor (195.652266666671)
    px = 195
    Marker-Y (py) floor (fract (y × 2zoom) * tilesize) floor (fract (0.334079811416708 × 29) × 256)
    floor (fract (0.334079811416708 × 512) × 256)
    floor (fract (171.048863445354) × 256)
    floor (0.0488634453543 × 256)
    floor (12.5090420107008)
    py = 12
  8. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 265 ÷ 29
    265 ÷ 512
    x = 0.517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 171 ÷ 29
    171 ÷ 512
    y = 0.333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.517578125 × 2 - 1) × π
    0.03515625 × 3.1415926535
    Λ = 0.11044662
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.333984375 × 2 - 1) × π
    0.33203125 × 3.1415926535
    Φ = 1.04310693573242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11044662} λ = 0.11044662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04310693573242))-π/2
    2×atan(2.8380208792274)-π/2
    2×1.23202218538612-π/2
    2.46404437077225-1.57079632675
    φ = 0.89324804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11044662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89324804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.179343°
  9. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 265 KachelY 171 0.11044662 0.89324804 6.328125 51.179343
    Oben rechts KachelX + 1 266 KachelY 171 0.12271846 0.89324804 7.031250 51.179343
    Unten links KachelX 265 KachelY + 1 172 0.11044662 0.88551819 6.328125 50.736455
    Unten rechts KachelX + 1 266 KachelY + 1 172 0.12271846 0.88551819 7.031250 50.736455
  10. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.89324804-0.88551819) × R
    0.00772985000000004 × 6371000
    dl = 49246.8743500002m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.89324804-0.88551819) × R
    0.00772985000000004 × 6371000
    dr = 49246.8743500002m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.11044662-0.12271846) × cos(0.89324804) × R
    0.01227184 × 0.626884750821521 × 6371000
    do = 49012.2900558829m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.11044662-0.12271846) × cos(0.88551819) × R
    0.01227184 × 0.632888381473458 × 6371000
    du = 49481.6772702242m
  11. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.89324804)-sin(0.88551819))×
    abs(λ12)×abs(0.626884750821521-0.632888381473458)×
    abs(0.12271846-0.11044662)×0.00600363065193754×
    0.01227184×0.00600363065193754×6371000²
    0.01227184×0.00600363065193754×40589641000000
    ar = 2425272092.53432m²