Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / **2124** / **1367**
↖	↑			↗
←	`N 51.234407° E 6.679688°`	← 6 119.22 m →	`N 51.234407° E 6.767578°`	→
	↑ 6 122.91 m ↓		↑ 6 122.91 m ↓
	`N 51.179343° E 6.679688°`	← 6 126.54 m → 37 489 841 m²	`N 51.179343° E 6.767578°`
↙	↓			↘

Die Berechnung

Aus der URL werden die geographischen Koordinaten übernommen:

Name	Parameter	Wert	Wertebereich	Erklärung zum Wertebereich
Länge in Grad	`lon`	6.679688°	-180°…+180°	Die Merkatortransformation läßt die Länge unverändert, vergrößert aber die Breite. Der Wertebereich der Breite ist so gewählt, dass die Transformation den erlaubten Bereich von Länge und Breite auf eine quadratische Fläche abbildet. Wenn jemand Sie fragen sollte, wie das Limit für die Breite berechnet wird: der ist, Taschenrechner flugs auf Degrees eingestellt, E hoch PI, davon der Arcus Tangens mal zwei, das Ganze minus 90°. Mit PHP: php -r 'echo 2atan(exp(pi())) 180/pi() - 90;', mit JavaScript 2Math.atan(Math.exp(Math.PI)) 180/Math.PI - 90.
Breite in Grad	`lat`	51.179343°	-85°…+85°
Vergrößerungsstufe	`zoom`	12	0…	Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.

Länge und Breite werden in das Bogenmaß umgerechnet (Multiplikation mit π/180°):

Name	Formel	Berechnung	Ergebnis
Länge (λ)	Länge in Grad × π ÷ 180°	6.679688 × 3.1415926535 ÷ 180	λ = 0.116582548602623
Breite (φ)	Breite in Grad × π ÷ 180°	51.179343 × 3.1415926535 ÷ 180	φ = 0.893248044331981

Länge und Breite werden durch die Mercator-Projektion transformiert:

Name	Formel	Berechnung	Ergebnis
Länge (Λ)	λ (unverändert)	0.116582548602623}	Λ = 0.116582548602623}
Breite (Φ)	log (tan φ + sec φ) = log (tan φ + 1/cos φ)	log (tan 0.893248044331981 + 1/cos 0.893248044331981) = log 1.24283132793109 + 1/0.626884747446422) = log 1.24283132793109 + 1.59518955290178) = log 2.83802088083287	Φ = 1.04310693629812

Länge und Breite werden in das Karten-Koordinatensystem transformiert.
Dieses beginnt links oben mit [0,0] und endet rechts unten mit [1,1]:

Name	Formel	Berechnung	Ergebnis
X-Position (x)	(1 + Λ/π) ÷ 2	(1 + 0.116582548602623/3.1415926535) ÷ 2	x = 0.518554688888889
Y-Position (y)	(1 - Φ/π) ÷ 2	(1 - 1.04310693629812/3.1415926535) ÷ 2	y = 0.333984374909966

Aus der Kartenposition x=0.518554688888889 y=0.333984374909966 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:

Name	Formel	Berechnung	Ergebnis
Kachel-X (tx)	floor (x × 2^zoom)	floor (0.518554688888889 × 2¹²) floor (0.518554688888889 × 4096) floor (2124.00000568889)	tx = 2124
Kachel-Y (ty)	floor (y × 2^zoom)	floor (0.333984374909966 × 2¹²) floor (0.333984374909966 × 4096) floor (1367.99999963122)	ty = 1367
Kachel-Pfad (ti)	"zoom/tx/tz"	12 / 2124 / 1367	ti = "12/2124/1367"

Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2124/1367.png und Kaffeepause.

Aus den Nachkommastellen 5.68888890484232e-06 und 0.999999631219907 sowie der Kachelgröße in Pixeln tilesize=256 berechnen wir die Position des Markers:

Name	Formel	Berechnung	Ergebnis
Marker-X (px)	floor (fract (x × 2^zoom) * tilesize)	floor (fract (0.518554688888889 × 2¹²) × 256) floor (fract (0.518554688888889 × 4096) × 256) floor (fract (2124.00000568889) × 256) floor (5.68888890484232e-06 × 256) floor (0.00145635555963963)	px = 0
Marker-Y (py)	floor (fract (y × 2^zoom) * tilesize)	floor (fract (0.333984374909966 × 2¹²) × 256) floor (fract (0.333984374909966 × 4096) × 256) floor (fract (1367.99999963122) × 256) floor (0.999999631219907 × 256) floor (255.999905592296)	py = 255

Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.

Name	Formel	Berechnung	Ergebnis
X-Position (x)	tx ÷ 2^tz	2124 ÷ 2¹² 2124 ÷ 4096	x = 0.5185546875
Y-Position (y)	ty ÷ 2^tz	1367 ÷ 2¹² 1367 ÷ 4096	y = 0.333740234375
Länge (Λ) (Merkator)	+(x × 2 - 1) × π	+(0.5185546875 × 2 - 1) × π 0.037109375 × 3.1415926535	Λ = 0.11658254
Breite (Φ) (Merkator)	-(y × 2 - 1) × π	-(0.333740234375 × 2 - 1) × π 0.33251953125 × 3.1415926535	Φ = 1.04464091652026
Länge (λ)	Λ (unverändert)	0.11658254}	λ = 0.11658254}
Breite (φ)	2×atan(exp(Φ))-π/2	2×atan(exp(1.04464091652026))-π/2 2×atan(2.84237768950893)-π/2 2×1.23250271268511-π/2 2.46500542537021-1.57079632675	φ = 0.89420910
Länge in Grad	λ ÷ π × 180°	0.11658254} ÷ 3.1415926535 × 180°	lon = 6.679688°
Breite in Grad	φ ÷ π × 180°	0.89420910 ÷ 3.1415926535 × 180°	lat = 51.234407°

Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:

Ecke	tx		ty		λ	φ	Länge in Grad	Breite in Grad
Oben links	KachelX	2124	KachelY	1367	0.11658254	0.89420910	6.679688	51.234407
Oben rechts	KachelX + 1	2125	KachelY	1367	0.11811652	0.89420910	6.767578	51.234407
Unten links	KachelX	2124	KachelY + 1	1368	0.11658254	0.89324804	6.679688	51.179343
Unten rechts	KachelX + 1	2125	KachelY + 1	1368	0.11811652	0.89324804	6.767578	51.179343

Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:

Name	Formel	Berechnung	Ergebnis
Linke Seite	abs(φ_OL-φ_UL) × R	abs(0.89420910-0.89324804) × R 0.000961059999999958 × 6371000	dl = 6122.91325999973m
Rechte Seite	abs(φ_OR-φ_UR) × R	abs(0.89420910-0.89324804) × R 0.000961059999999958 × 6371000	dr = 6122.91325999973m
Obere Seite	abs(λ_OL-λ_OR) × cos(φ_OL) × R	abs(0.11658254-0.11811652) × cos(0.89420910) × R 0.00153398 × 0.626135688050928 × 6371000	do = 6119.21567658081m
Untere Seite	abs(λ_UL-λ_UR) × cos(φ_UL) × R	abs(0.11658254-0.11811652) × cos(0.89324804) × R 0.00153398 × 0.626884750821521 × 6371000	du = 6126.53625698538m

Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:

Name	Formel	Berechnung	Ergebnis
Fläche	abs(λ₁-λ₂)×abs(sinφ₁-sinφ₂)×R²	abs(λ₁-λ₂)×abs(sin(0.89420910)-sin(0.89324804))×R² abs(λ₁-λ₂)×abs(0.626135688050928-0.626884750821521)×R² abs(0.11811652-0.11658254)×0.000749062770592168×R² 0.00153398×0.000749062770592168×6371000² 0.00153398×0.000749062770592168×40589641000000	ar = 37489841.3319351m²