Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1057 / 691
↖ ↑ ↗
← N 50.401515°
E  5.800781°		 ← 12.459 km → N 50.401515°
E  5.976562°		 →
↑
12.473 km
↓
↑
12.473 km
↓
N 50.289339°
E  5.800781°		 ← 12.488 km →
155.586 km²		 N 50.289339°
E  5.976562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516357421875 y=0.337646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516357421875 × 211)
    floor (0.516357421875 × 2048)
    floor (1057.5)     		tx = 1057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337646484375 × 211)
    floor (0.337646484375 × 2048)
    floor (691.5)     		ty = 691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1057 / 691 ti = "11/1057/691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1057/691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1057 ÷ 211
    1057 ÷ 2048     		x = 0.51611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 691 ÷ 211
    691 ÷ 2048     		y = 0.33740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51611328125 × 2 - 1) × π
    0.0322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10124273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33740234375 × 2 - 1) × π
    0.3251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02163120470264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10124273} λ = 0.10124273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02163120470264))-π/2
    2×atan(2.77772210380975)-π/2
    2×1.2252343585766-π/2
    2.45046871715321-1.57079632675     		φ = 0.87967239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10124273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.800781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87967239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.401515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1057 KachelY 691 0.10124273 0.87967239 5.800781 50.401515
    Oben rechts KachelX + 1 1058 KachelY 691 0.10431069 0.87967239 5.976562 50.401515
    Unten links KachelX 1057 KachelY + 1 692 0.10124273 0.87771455 5.800781 50.289339
    Unten rechts KachelX + 1 1058 KachelY + 1 692 0.10431069 0.87771455 5.976562 50.289339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87967239-0.87771455) × R
    0.00195783999999999 × 6371000     		dl = 12473.3986399999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87967239-0.87771455) × R
    0.00195783999999999 × 6371000     		dr = 12473.3986399999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10124273-0.10431069) × cos(0.87967239) × R
    0.00306795999999999 × 0.637403611766001 × 6371000     		do = 12458.6738876653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10124273-0.10431069) × cos(0.87771455) × R
    0.00306795999999999 × 0.638910963826672 × 6371000     		du = 12488.1365505859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87967239)-sin(0.87771455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637403611766001-0.638910963826672)×R²
    abs(0.10431069-0.10124273)×0.00150735206067099×R²
    0.00306795999999999×0.00150735206067099×6371000²
    0.00306795999999999×0.00150735206067099×40589641000000     		ar = 155585805.39489m²