Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1058 / 686
↖ ↑ ↗
← N 50.958427°
E  5.976562°		 ← 12.312 km → N 50.958427°
E  6.152344°		 →
↑
12.326 km
↓
↑
12.326 km
↓
N 50.847573°
E  5.976562°		 ← 12.341 km →
151.941 km²		 N 50.847573°
E  6.152344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516845703125 y=0.335205078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516845703125 × 211)
    floor (0.516845703125 × 2048)
    floor (1058.5)     		tx = 1058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335205078125 × 211)
    floor (0.335205078125 × 2048)
    floor (686.5)     		ty = 686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1058 / 686 ti = "11/1058/686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1058/686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1058 ÷ 211
    1058 ÷ 2048     		x = 0.5166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 686 ÷ 211
    686 ÷ 2048     		y = 0.3349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5166015625 × 2 - 1) × π
    0.033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10431069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3349609375 × 2 - 1) × π
    0.330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03697101258105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10431069} λ = 0.10431069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03697101258105))-π/2
    2×atan(2.82066031721575)-π/2
    2×1.23009432736756-π/2
    2.46018865473512-1.57079632675     		φ = 0.88939233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10431069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.976562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88939233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.958427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1058 KachelY 686 0.10431069 0.88939233 5.976562 50.958427
    Oben rechts KachelX + 1 1059 KachelY 686 0.10737866 0.88939233 6.152344 50.958427
    Unten links KachelX 1058 KachelY + 1 687 0.10431069 0.88745756 5.976562 50.847573
    Unten rechts KachelX + 1 1059 KachelY + 1 687 0.10737866 0.88745756 6.152344 50.847573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88939233-0.88745756) × R
    0.00193476999999997 × 6371000     		dl = 12326.4196699998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88939233-0.88745756) × R
    0.00193476999999997 × 6371000     		dr = 12326.4196699998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10431069-0.10737866) × cos(0.88939233) × R
    0.00306797 × 0.629884113524226 × 6371000     		do = 12311.7381067718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10431069-0.10737866) × cos(0.88745756) × R
    0.00306797 × 0.6313856484801 × 6371000     		du = 12341.0871643809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88939233)-sin(0.88745756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629884113524226-0.6313856484801)×R²
    abs(0.10737866-0.10431069)×0.00150153495587335×R²
    0.00306797×0.00150153495587335×6371000²
    0.00306797×0.00150153495587335×40589641000000     		ar = 151940582.568737m²