Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1061 / 687
↖ ↑ ↗
← N 50.847573°
E  6.503906°		 ← 12.341 km → N 50.847573°
E  6.679688°		 →
↑
12.356 km
↓
↑
12.356 km
↓
N 50.736455°
E  6.503906°		 ← 12.370 km →
152.664 km²		 N 50.736455°
E  6.679688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518310546875 y=0.335693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518310546875 × 211)
    floor (0.518310546875 × 2048)
    floor (1061.5)     		tx = 1061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335693359375 × 211)
    floor (0.335693359375 × 2048)
    floor (687.5)     		ty = 687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1061 / 687 ti = "11/1061/687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1061/687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1061 ÷ 211
    1061 ÷ 2048     		x = 0.51806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 687 ÷ 211
    687 ÷ 2048     		y = 0.33544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51806640625 × 2 - 1) × π
    0.0361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11351458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33544921875 × 2 - 1) × π
    0.3291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03390305100537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11351458} λ = 0.11351458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03390305100537))-π/2
    2×atan(2.81201990075457)-π/2
    2×1.22912694573276-π/2
    2.45825389146552-1.57079632675     		φ = 0.88745756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11351458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.503906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88745756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.847573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1061 KachelY 687 0.11351458 0.88745756 6.503906 50.847573
    Oben rechts KachelX + 1 1062 KachelY 687 0.11658254 0.88745756 6.679688 50.847573
    Unten links KachelX 1061 KachelY + 1 688 0.11351458 0.88551819 6.503906 50.736455
    Unten rechts KachelX + 1 1062 KachelY + 1 688 0.11658254 0.88551819 6.679688 50.736455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88745756-0.88551819) × R
    0.00193937 × 6371000     		dl = 12355.72627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88745756-0.88551819) × R
    0.00193937 × 6371000     		dr = 12355.72627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11351458-0.11658254) × cos(0.88745756) × R
    0.00306795999999999 × 0.6313856484801 × 6371000     		do = 12341.0469388012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11351458-0.11658254) × cos(0.88551819) × R
    0.00306795999999999 × 0.632888381473458 × 6371000     		du = 12370.419317556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88745756)-sin(0.88551819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6313856484801-0.632888381473458)×R²
    abs(0.11658254-0.11351458)×0.00150273299335846×R²
    0.00306795999999999×0.00150273299335846×6371000²
    0.00306795999999999×0.00150273299335846×40589641000000     		ar = 152664104.246415m²