Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1062 / 683
↖ ↑ ↗
← N 51.289406°
E  6.679688°		 ← 12.224 km → N 51.289406°
E  6.855469°		 →
↑
12.238 km
↓
↑
12.238 km
↓
N 51.179343°
E  6.679688°		 ← 12.253 km →
149.779 km²		 N 51.179343°
E  6.855469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518798828125 y=0.333740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518798828125 × 211)
    floor (0.518798828125 × 2048)
    floor (1062.5)     		tx = 1062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333740234375 × 211)
    floor (0.333740234375 × 2048)
    floor (683.5)     		ty = 683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1062 / 683 ti = "11/1062/683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1062/683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1062 ÷ 211
    1062 ÷ 2048     		x = 0.5185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 683 ÷ 211
    683 ÷ 2048     		y = 0.33349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5185546875 × 2 - 1) × π
    0.037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11658254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33349609375 × 2 - 1) × π
    0.3330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04617489730811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11658254} λ = 0.11658254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04617489730811))-π/2
    2×atan(2.84674118818235)-π/2
    2×1.23298266558521-π/2
    2.46596533117042-1.57079632675     		φ = 0.89516900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11658254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.679688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89516900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.289406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1062 KachelY 683 0.11658254 0.89516900 6.679688 51.289406
    Oben rechts KachelX + 1 1063 KachelY 683 0.11965050 0.89516900 6.855469 51.289406
    Unten links KachelX 1062 KachelY + 1 684 0.11658254 0.89324804 6.679688 51.179343
    Unten rechts KachelX + 1 1063 KachelY + 1 684 0.11965050 0.89324804 6.855469 51.179343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89516900-0.89324804) × R
    0.00192095999999997 × 6371000     		dl = 12238.4361599998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89516900-0.89324804) × R
    0.00192095999999997 × 6371000     		dr = 12238.4361599998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11658254-0.11965050) × cos(0.89516900) × R
    0.00306796000000001 × 0.625386952124284 × 6371000     		do = 12223.7965808355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11658254-0.11965050) × cos(0.89324804) × R
    0.00306796000000001 × 0.626884750821521 × 6371000     		du = 12253.0725139708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89516900)-sin(0.89324804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625386952124284-0.626884750821521)×R²
    abs(0.11965050-0.11658254)×0.0014977986972361×R²
    0.00306796000000001×0.0014977986972361×6371000²
    0.00306796000000001×0.0014977986972361×40589641000000     		ar = 149779345.964975m²