Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1063 / 685
↖ ↑ ↗
← N 51.069017°
E  6.855469°		 ← 12.282 km → N 51.069017°
E  7.031250°		 →
↑
12.297 km
↓
↑
12.297 km
↓
N 50.958427°
E  6.855469°		 ← 12.312 km →
151.217 km²		 N 50.958427°
E  7.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519287109375 y=0.334716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519287109375 × 211)
    floor (0.519287109375 × 2048)
    floor (1063.5)     		tx = 1063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334716796875 × 211)
    floor (0.334716796875 × 2048)
    floor (685.5)     		ty = 685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1063 / 685 ti = "11/1063/685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1063/685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1063 ÷ 211
    1063 ÷ 2048     		x = 0.51904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 685 ÷ 211
    685 ÷ 2048     		y = 0.33447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51904296875 × 2 - 1) × π
    0.0380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11965050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33447265625 × 2 - 1) × π
    0.3310546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04003897415674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11965050} λ = 0.11965050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04003897415674))-π/2
    2×atan(2.82932728284772)-π/2
    2×1.23105940662107-π/2
    2.46211881324214-1.57079632675     		φ = 0.89132249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11965050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.855469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89132249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.069017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1063 KachelY 685 0.11965050 0.89132249 6.855469 51.069017
    Oben rechts KachelX + 1 1064 KachelY 685 0.12271846 0.89132249 7.031250 51.069017
    Unten links KachelX 1063 KachelY + 1 686 0.11965050 0.88939233 6.855469 50.958427
    Unten rechts KachelX + 1 1064 KachelY + 1 686 0.12271846 0.88939233 7.031250 50.958427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89132249-0.88939233) × R
    0.00193016000000001 × 6371000     		dl = 12297.0493600001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89132249-0.88939233) × R
    0.00193016000000001 × 6371000     		dr = 12297.0493600001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11965050-0.12271846) × cos(0.89132249) × R
    0.00306795999999999 × 0.628383806843492 × 6371000     		do = 12282.3730227415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11965050-0.12271846) × cos(0.88939233) × R
    0.00306795999999999 × 0.629884113524226 × 6371000     		du = 12311.6979768549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89132249)-sin(0.88939233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628383806843492-0.629884113524226)×R²
    abs(0.12271846-0.11965050)×0.00150030668073386×R²
    0.00306795999999999×0.00150030668073386×6371000²
    0.00306795999999999×0.00150030668073386×40589641000000     		ar = 151217299.469592m²