Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1067 / 681
↖ ↑ ↗
← N 51.508742°
E  7.558594°		 ← 12.165 km → N 51.508742°
E  7.734375°		 →
↑
12.180 km
↓
↑
12.180 km
↓
N 51.399206°
E  7.558594°		 ← 12.195 km →
148.351 km²		 N 51.399206°
E  7.734375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521240234375 y=0.332763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521240234375 × 211)
    floor (0.521240234375 × 2048)
    floor (1067.5)     		tx = 1067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332763671875 × 211)
    floor (0.332763671875 × 2048)
    floor (681.5)     		ty = 681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1067 / 681 ti = "11/1067/681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1067/681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1067 ÷ 211
    1067 ÷ 2048     		x = 0.52099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 681 ÷ 211
    681 ÷ 2048     		y = 0.33251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52099609375 × 2 - 1) × π
    0.0419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13192235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33251953125 × 2 - 1) × π
    0.3349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05231082045947
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13192235} λ = 0.13192235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05231082045947))-π/2
    2×atan(2.86426227238625)-π/2
    2×1.23489673812205-π/2
    2.46979347624409-1.57079632675     		φ = 0.89899715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13192235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.558594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89899715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.508742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1067 KachelY 681 0.13192235 0.89899715 7.558594 51.508742
    Oben rechts KachelX + 1 1068 KachelY 681 0.13499031 0.89899715 7.734375 51.508742
    Unten links KachelX 1067 KachelY + 1 682 0.13192235 0.89708537 7.558594 51.399206
    Unten rechts KachelX + 1 1068 KachelY + 1 682 0.13499031 0.89708537 7.734375 51.399206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89899715-0.89708537) × R
    0.00191178000000003 × 6371000     		dl = 12179.9503800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89899715-0.89708537) × R
    0.00191178000000003 × 6371000     		dr = 12179.9503800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13192235-0.13499031) × cos(0.89899715) × R
    0.00306796000000001 × 0.62239521495124 × 6371000     		do = 12165.3201663494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13192235-0.13499031) × cos(0.89708537) × R
    0.00306796000000001 × 0.62389043284113 × 6371000     		du = 12194.5456550935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89899715)-sin(0.89708537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62239521495124-0.62389043284113)×R²
    abs(0.13499031-0.13192235)×0.00149521788989004×R²
    0.00306796000000001×0.00149521788989004×6371000²
    0.00306796000000001×0.00149521788989004×40589641000000     		ar = 148351023.668375m²