Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1087 / 705
↖ ↑ ↗
← N 48.806863°
E 11.074219°		 ← 12.873 km → N 48.806863°
E 11.250000°		 →
↑
12.888 km
↓
↑
12.888 km
↓
N 48.690960°
E 11.074219°		 ← 12.903 km →
166.096 km²		 N 48.690960°
E 11.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531005859375 y=0.344482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531005859375 × 211)
    floor (0.531005859375 × 2048)
    floor (1087.5)     		tx = 1087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344482421875 × 211)
    floor (0.344482421875 × 2048)
    floor (705.5)     		ty = 705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1087 / 705 ti = "11/1087/705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1087/705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1087 ÷ 211
    1087 ÷ 2048     		x = 0.53076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 705 ÷ 211
    705 ÷ 2048     		y = 0.34423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53076171875 × 2 - 1) × π
    0.0615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.19328158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34423828125 × 2 - 1) × π
    0.3115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.978679742643066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19328158} λ = 0.19328158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.978679742643066))-π/2
    2×atan(2.66094079513167)-π/2
    2×1.21131839587186-π/2
    2.42263679174373-1.57079632675     		φ = 0.85184046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19328158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.074219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85184046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.806863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1087 KachelY 705 0.19328158 0.85184046 11.074219 48.806863
    Oben rechts KachelX + 1 1088 KachelY 705 0.19634954 0.85184046 11.250000 48.806863
    Unten links KachelX 1087 KachelY + 1 706 0.19328158 0.84981757 11.074219 48.690960
    Unten rechts KachelX + 1 1088 KachelY + 1 706 0.19634954 0.84981757 11.250000 48.690960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85184046-0.84981757) × R
    0.00202289 × 6371000     		dl = 12887.83219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85184046-0.84981757) × R
    0.00202289 × 6371000     		dr = 12887.83219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19328158-0.19634954) × cos(0.85184046) × R
    0.00306795999999998 × 0.658599327353307 × 6371000     		do = 12872.9647756417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19328158-0.19634954) × cos(0.84981757) × R
    0.00306795999999998 × 0.66012019098618 × 6371000     		du = 12902.6915353899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85184046)-sin(0.84981757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658599327353307-0.66012019098618)×R²
    abs(0.19634954-0.19328158)×0.00152086363287296×R²
    0.00306795999999998×0.00152086363287296×6371000²
    0.00306795999999998×0.00152086363287296×40589641000000     		ar = 166096223.201815m²