Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1088 / 702
↖ ↑ ↗
← N 49.152970°
E 11.250000°		 ← 12.784 km → N 49.152970°
E 11.425781°		 →
↑
12.799 km
↓
↑
12.799 km
↓
N 49.037868°
E 11.250000°		 ← 12.814 km →
163.808 km²		 N 49.037868°
E 11.425781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531494140625 y=0.343017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531494140625 × 211)
    floor (0.531494140625 × 2048)
    floor (1088.5)     		tx = 1088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343017578125 × 211)
    floor (0.343017578125 × 2048)
    floor (702.5)     		ty = 702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1088 / 702 ti = "11/1088/702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1088/702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1088 ÷ 211
    1088 ÷ 2048     		x = 0.53125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 702 ÷ 211
    702 ÷ 2048     		y = 0.3427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53125 × 2 - 1) × π
    0.0625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3427734375 × 2 - 1) × π
    0.314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.987883627370117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19634954} λ = 0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.987883627370117))-π/2
    2×atan(2.68554484018595)-π/2
    2×1.21433874220473-π/2
    2.42867748440947-1.57079632675     		φ = 0.85788116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85788116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.152970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1088 KachelY 702 0.19634954 0.85788116 11.250000 49.152970
    Oben rechts KachelX + 1 1089 KachelY 702 0.19941750 0.85788116 11.425781 49.152970
    Unten links KachelX 1088 KachelY + 1 703 0.19634954 0.85587225 11.250000 49.037868
    Unten rechts KachelX + 1 1089 KachelY + 1 703 0.19941750 0.85587225 11.425781 49.037868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85788116-0.85587225) × R
    0.00200891000000003 × 6371000     		dl = 12798.7656100002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85788116-0.85587225) × R
    0.00200891000000003 × 6371000     		dr = 12798.7656100002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19634954-0.19941750) × cos(0.85788116) × R
    0.00306796000000001 × 0.654041749545626 × 6371000     		do = 12783.8824821383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19634954-0.19941750) × cos(0.85587225) × R
    0.00306796000000001 × 0.655560085708572 × 6371000     		du = 12813.5598400271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85788116)-sin(0.85587225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654041749545626-0.655560085708572)×R²
    abs(0.19941750-0.19634954)×0.00151833616294594×R²
    0.00306796000000001×0.00151833616294594×6371000²
    0.00306796000000001×0.00151833616294594×40589641000000     		ar = 163807887.338673m²