Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1090 / 706
↖ ↑ ↗
← N 48.690960°
E 11.601562°		 ← 12.903 km → N 48.690960°
E 11.777344°		 →
↑
12.918 km
↓
↑
12.918 km
↓
N 48.574790°
E 11.601562°		 ← 12.932 km →
166.863 km²		 N 48.574790°
E 11.777344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.532470703125 y=0.344970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.532470703125 × 211)
    floor (0.532470703125 × 2048)
    floor (1090.5)     		tx = 1090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344970703125 × 211)
    floor (0.344970703125 × 2048)
    floor (706.5)     		ty = 706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1090 / 706 ti = "11/1090/706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1090/706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1090 ÷ 211
    1090 ÷ 2048     		x = 0.5322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 706 ÷ 211
    706 ÷ 2048     		y = 0.3447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5322265625 × 2 - 1) × π
    0.064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.20248546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3447265625 × 2 - 1) × π
    0.310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.975611781067383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20248546} λ = 0.20248546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.975611781067383))-π/2
    2×atan(2.65278964112417)-π/2
    2×1.21030695077814-π/2
    2.42061390155628-1.57079632675     		φ = 0.84981757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20248546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.601562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84981757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.690960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1090 KachelY 706 0.20248546 0.84981757 11.601562 48.690960
    Oben rechts KachelX + 1 1091 KachelY 706 0.20555343 0.84981757 11.777344 48.690960
    Unten links KachelX 1090 KachelY + 1 707 0.20248546 0.84779002 11.601562 48.574790
    Unten rechts KachelX + 1 1091 KachelY + 1 707 0.20555343 0.84779002 11.777344 48.574790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84981757-0.84779002) × R
    0.00202754999999999 × 6371000     		dl = 12917.5210499999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84981757-0.84779002) × R
    0.00202754999999999 × 6371000     		dr = 12917.5210499999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20248546-0.20555343) × cos(0.84981757) × R
    0.00306797 × 0.66012019098618 × 6371000     		do = 12902.7335916473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20248546-0.20555343) × cos(0.84779002) × R
    0.00306797 × 0.661641847521221 × 6371000     		du = 12932.4759463847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84981757)-sin(0.84779002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66012019098618-0.661641847521221)×R²
    abs(0.20555343-0.20248546)×0.00152165653504122×R²
    0.00306797×0.00152165653504122×6371000²
    0.00306797×0.00152165653504122×40589641000000     		ar = 166863488.683439m²