Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1094 / 710
↖ ↑ ↗
← N 48.224673°
E 12.304687°		 ← 13.022 km → N 48.224673°
E 12.480469°		 →
↑
13.037 km
↓
↑
13.037 km
↓
N 48.107431°
E 12.304687°		 ← 13.052 km →
169.954 km²		 N 48.107431°
E 12.480469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534423828125 y=0.346923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534423828125 × 211)
    floor (0.534423828125 × 2048)
    floor (1094.5)     		tx = 1094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346923828125 × 211)
    floor (0.346923828125 × 2048)
    floor (710.5)     		ty = 710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1094 / 710 ti = "11/1094/710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1094/710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1094 ÷ 211
    1094 ÷ 2048     		x = 0.5341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 710 ÷ 211
    710 ÷ 2048     		y = 0.3466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5341796875 × 2 - 1) × π
    0.068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.21475731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3466796875 × 2 - 1) × π
    0.306640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.963339934764648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21475731} λ = 0.21475731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.963339934764648))-π/2
    2×atan(2.62043395245206)-π/2
    2×1.20623782260396-π/2
    2.41247564520792-1.57079632675     		φ = 0.84167932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21475731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.304687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84167932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.224673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1094 KachelY 710 0.21475731 0.84167932 12.304687 48.224673
    Oben rechts KachelX + 1 1095 KachelY 710 0.21782527 0.84167932 12.480469 48.224673
    Unten links KachelX 1094 KachelY + 1 711 0.21475731 0.83963307 12.304687 48.107431
    Unten rechts KachelX + 1 1095 KachelY + 1 711 0.21782527 0.83963307 12.480469 48.107431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84167932-0.83963307) × R
    0.00204625000000003 × 6371000     		dl = 13036.6587500002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84167932-0.83963307) × R
    0.00204625000000003 × 6371000     		dr = 13036.6587500002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21475731-0.21782527) × cos(0.84167932) × R
    0.00306795999999998 × 0.666211391183872 × 6371000     		do = 13021.7499709661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21475731-0.21782527) × cos(0.83963307) × R
    0.00306795999999998 × 0.667736012802383 × 6371000     		du = 13051.5501842007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84167932)-sin(0.83963307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666211391183872-0.667736012802383)×R²
    abs(0.21782527-0.21475731)×0.00152462161851197×R²
    0.00306795999999998×0.00152462161851197×6371000²
    0.00306795999999998×0.00152462161851197×40589641000000     		ar = 169954417.606525m²