Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1097 / 713
↖ ↑ ↗
← N 47.872144°
E 12.832032°		 ← 13.111 km → N 47.872144°
E 13.007813°		 →
↑
13.126 km
↓
↑
13.126 km
↓
N 47.754098°
E 12.832032°		 ← 13.141 km →
172.295 km²		 N 47.754098°
E 13.007813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535888671875 y=0.348388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535888671875 × 211)
    floor (0.535888671875 × 2048)
    floor (1097.5)     		tx = 1097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348388671875 × 211)
    floor (0.348388671875 × 2048)
    floor (713.5)     		ty = 713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1097 / 713 ti = "11/1097/713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1097/713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1097 ÷ 211
    1097 ÷ 2048     		x = 0.53564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 713 ÷ 211
    713 ÷ 2048     		y = 0.34814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53564453125 × 2 - 1) × π
    0.0712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22396120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34814453125 × 2 - 1) × π
    0.3037109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.954136050037598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22396120} λ = 0.22396120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.954136050037598))-π/2
    2×atan(2.59642643112413)-π/2
    2×1.20316142951122-π/2
    2.40632285902243-1.57079632675     		φ = 0.83552653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22396120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.832032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83552653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.872144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1097 KachelY 713 0.22396120 0.83552653 12.832032 47.872144
    Oben rechts KachelX + 1 1098 KachelY 713 0.22702916 0.83552653 13.007813 47.872144
    Unten links KachelX 1097 KachelY + 1 714 0.22396120 0.83346624 12.832032 47.754098
    Unten rechts KachelX + 1 1098 KachelY + 1 714 0.22702916 0.83346624 13.007813 47.754098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83552653-0.83346624) × R
    0.00206028999999996 × 6371000     		dl = 13126.1075899998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83552653-0.83346624) × R
    0.00206028999999996 × 6371000     		dr = 13126.1075899998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22396120-0.22702916) × cos(0.83552653) × R
    0.00306796000000001 × 0.670787274788976 × 6371000     		do = 13111.1900690949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22396120-0.22702916) × cos(0.83346624) × R
    0.00306796000000001 × 0.672313863706238 × 6371000     		du = 13141.0287350981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83552653)-sin(0.83346624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670787274788976-0.672313863706238)×R²
    abs(0.22702916-0.22396120)×0.00152658891726221×R²
    0.00306796000000001×0.00152658891726221×6371000²
    0.00306796000000001×0.00152658891726221×40589641000000     		ar = 172294785.196373m²