Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1100 / 716
↖ ↑ ↗
← N 47.517200°
E 13.359375°		 ← 13.201 km → N 47.517200°
E 13.535156°		 →
↑
13.216 km
↓
↑
13.216 km
↓
N 47.398349°
E 13.359375°		 ← 13.231 km →
174.654 km²		 N 47.398349°
E 13.535156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537353515625 y=0.349853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537353515625 × 211)
    floor (0.537353515625 × 2048)
    floor (1100.5)     		tx = 1100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349853515625 × 211)
    floor (0.349853515625 × 2048)
    floor (716.5)     		ty = 716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1100 / 716 ti = "11/1100/716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1100/716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1100 ÷ 211
    1100 ÷ 2048     		x = 0.537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 716 ÷ 211
    716 ÷ 2048     		y = 0.349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537109375 × 2 - 1) × π
    0.07421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23316508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349609375 × 2 - 1) × π
    0.30078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.944932165310547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23316508} λ = 0.23316508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.944932165310547))-π/2
    2×atan(2.57263885851109)-π/2
    2×1.20006396514245-π/2
    2.4001279302849-1.57079632675     		φ = 0.82933160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23316508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.359375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82933160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.517200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1100 KachelY 716 0.23316508 0.82933160 13.359375 47.517200
    Oben rechts KachelX + 1 1101 KachelY 716 0.23623304 0.82933160 13.535156 47.517200
    Unten links KachelX 1100 KachelY + 1 717 0.23316508 0.82725725 13.359375 47.398349
    Unten rechts KachelX + 1 1101 KachelY + 1 717 0.23623304 0.82725725 13.535156 47.398349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82933160-0.82725725) × R
    0.00207434999999989 × 6371000     		dl = 13215.6838499993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82933160-0.82725725) × R
    0.00207434999999989 × 6371000     		dr = 13215.6838499993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23316508-0.23623304) × cos(0.82933160) × R
    0.00306796000000001 × 0.675368842609735 × 6371000     		do = 13200.7412707502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23316508-0.23623304) × cos(0.82725725) × R
    0.00306796000000001 × 0.676897180367001 × 6371000     		du = 13230.6141195331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82933160)-sin(0.82725725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675368842609735-0.676897180367001)×R²
    abs(0.23623304-0.23316508)×0.00152833775726569×R²
    0.00306796000000001×0.00152833775726569×6371000²
    0.00306796000000001×0.00152833775726569×40589641000000     		ar = 174654280.909559m²