Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1124 / 612
↖ ↑ ↗
← N 58.447733°
E 17.578125°		 ← 10.228 km → N 58.447733°
E 17.753906°		 →
↑
10.241 km
↓
↑
10.241 km
↓
N 58.355631°
E 17.578125°		 ← 10.255 km →
104.885 km²		 N 58.355631°
E 17.753906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549072265625 y=0.299072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549072265625 × 211)
    floor (0.549072265625 × 2048)
    floor (1124.5)     		tx = 1124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299072265625 × 211)
    floor (0.299072265625 × 2048)
    floor (612.5)     		ty = 612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1124 / 612 ti = "11/1124/612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1124/612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1124 ÷ 211
    1124 ÷ 2048     		x = 0.548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 612 ÷ 211
    612 ÷ 2048     		y = 0.298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548828125 × 2 - 1) × π
    0.09765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.30679616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298828125 × 2 - 1) × π
    0.40234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.26400016918164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30679616} λ = 0.30679616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26400016918164))-π/2
    2×atan(3.53955201315604)-π/2
    2×1.29545085226489-π/2
    2.59090170452978-1.57079632675     		φ = 1.02010538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30679616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.578125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02010538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.447733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1124 KachelY 612 0.30679616 1.02010538 17.578125 58.447733
    Oben rechts KachelX + 1 1125 KachelY 612 0.30986412 1.02010538 17.753906 58.447733
    Unten links KachelX 1124 KachelY + 1 613 0.30679616 1.01849789 17.578125 58.355631
    Unten rechts KachelX + 1 1125 KachelY + 1 613 0.30986412 1.01849789 17.753906 58.355631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02010538-1.01849789) × R
    0.00160749000000004 × 6371000     		dl = 10241.3187900003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02010538-1.01849789) × R
    0.00160749000000004 × 6371000     		dr = 10241.3187900003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30679616-0.30986412) × cos(1.02010538) × R
    0.00306796000000004 × 0.523276153202488 × 6371000     		do = 10227.941645764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30679616-0.30986412) × cos(1.01849789) × R
    0.00306796000000004 × 0.524645320306961 × 6371000     		du = 10254.7033492396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02010538)-sin(1.01849789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.523276153202488-0.524645320306961)×R²
    abs(0.30986412-0.30679616)×0.00136916710447343×R²
    0.00306796000000004×0.00136916710447343×6371000²
    0.00306796000000004×0.00136916710447343×40589641000000     		ar = 104884671.113492m²