Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1220 / 580
↖ ↑ ↗
← N 61.270233°
E 34.453125°		 ← 9 395.34 m → N 61.270233°
E 34.628906°		 →
↑
9 407.99 m
↓
↑
9 407.99 m
↓
N 61.185625°
E 34.453125°		 ← 9 420.64 m →
88 510 325 m²		 N 61.185625°
E 34.628906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595947265625 y=0.283447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595947265625 × 211)
    floor (0.595947265625 × 2048)
    floor (1220.5)     		tx = 1220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.283447265625 × 211)
    floor (0.283447265625 × 2048)
    floor (580.5)     		ty = 580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1220 / 580 ti = "11/1220/580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1220/580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1220 ÷ 211
    1220 ÷ 2048     		x = 0.595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 580 ÷ 211
    580 ÷ 2048     		y = 0.283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595703125 × 2 - 1) × π
    0.19140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.60132047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.283203125 × 2 - 1) × π
    0.43359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.36217493960352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60132047} λ = 0.60132047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36217493960352))-π/2
    2×atan(3.90467650879763)-π/2
    2×1.32008181121254-π/2
    2.64016362242508-1.57079632675     		φ = 1.06936730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60132047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.453125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06936730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.270233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1220 KachelY 580 0.60132047 1.06936730 34.453125 61.270233
    Oben rechts KachelX + 1 1221 KachelY 580 0.60438843 1.06936730 34.628906 61.270233
    Unten links KachelX 1220 KachelY + 1 581 0.60132047 1.06789061 34.453125 61.185625
    Unten rechts KachelX + 1 1221 KachelY + 1 581 0.60438843 1.06789061 34.628906 61.185625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06936730-1.06789061) × R
    0.00147668999999984 × 6371000     		dl = 9407.99198999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06936730-1.06789061) × R
    0.00147668999999984 × 6371000     		dr = 9407.99198999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60132047-0.60438843) × cos(1.06936730) × R
    0.00306795999999998 × 0.480679137651468 × 6371000     		do = 9395.34152310749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60132047-0.60438843) × cos(1.06789061) × R
    0.00306795999999998 × 0.481973517465778 × 6371000     		du = 9420.64143621683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06936730)-sin(1.06789061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480679137651468-0.481973517465778)×R²
    abs(0.60438843-0.60132047)×0.00129437981430974×R²
    0.00306795999999998×0.00129437981430974×6371000²
    0.00306795999999998×0.00129437981430974×40589641000000     		ar = 88510324.5665447m²