Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12296 / 4104
↖ ↑ ↗
← N 66.443106°
E 90.175781°		 ← 976.45 m → N 66.443106°
E 90.197754°		 →
↑
976.61 m
↓
↑
976.61 m
↓
N 66.434323°
E 90.175781°		 ← 976.80 m →
953 783 m²		 N 66.434323°
E 90.197754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750518798828125 y=0.250518798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750518798828125 × 214)
    floor (0.750518798828125 × 16384)
    floor (12296.5)     		tx = 12296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250518798828125 × 214)
    floor (0.250518798828125 × 16384)
    floor (4104.5)     		ty = 4104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12296 / 4104 ti = "14/12296/4104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12296/4104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12296 ÷ 214
    12296 ÷ 16384     		x = 0.75048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4104 ÷ 214
    4104 ÷ 16384     		y = 0.25048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75048828125 × 2 - 1) × π
    0.5009765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.57386429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25048828125 × 2 - 1) × π
    0.4990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.56772836517432
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57386429} λ = 1.57386429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56772836517432))-π/2
    2×atan(4.79574163689073)-π/2
    2×1.36522365029887-π/2
    2.73044730059773-1.57079632675     		φ = 1.15965097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57386429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15965097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.443106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12296 KachelY 4104 1.57386429 1.15965097 90.175781 66.443106
    Oben rechts KachelX + 1 12297 KachelY 4104 1.57424778 1.15965097 90.197754 66.443106
    Unten links KachelX 12296 KachelY + 1 4105 1.57386429 1.15949768 90.175781 66.434323
    Unten rechts KachelX + 1 12297 KachelY + 1 4105 1.57424778 1.15949768 90.197754 66.434323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15965097-1.15949768) × R
    0.000153289999999862 × 6371000     		dl = 976.610589999118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15965097-1.15949768) × R
    0.000153289999999862 × 6371000     		dr = 976.610589999118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57386429-1.57424778) × cos(1.15965097) × R
    0.000383490000000153 × 0.399659496864673 × 6371000     		do = 976.453993704116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57386429-1.57424778) × cos(1.15949768) × R
    0.000383490000000153 × 0.399800007542755 × 6371000     		du = 976.797291470961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15965097)-sin(1.15949768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399659496864673-0.399800007542755)×R²
    abs(1.57424778-1.57386429)×0.000140510678082684×R²
    0.000383490000000153×0.000140510678082684×6371000²
    0.000383490000000153×0.000140510678082684×40589641000000     		ar = 953782.946884515m²