Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1232 / 848
↖ ↑ ↗
← N 29.535229°
E 36.562500°		 ← 17.006 km → N 29.535229°
E 36.738281°		 →
↑
17.019 km
↓
↑
17.019 km
↓
N 29.382175°
E 36.562500°		 ← 17.032 km →
289.642 km²		 N 29.382175°
E 36.738281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601806640625 y=0.414306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601806640625 × 211)
    floor (0.601806640625 × 2048)
    floor (1232.5)     		tx = 1232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414306640625 × 211)
    floor (0.414306640625 × 2048)
    floor (848.5)     		ty = 848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1232 / 848 ti = "11/1232/848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1232/848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1232 ÷ 211
    1232 ÷ 2048     		x = 0.6015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 848 ÷ 211
    848 ÷ 2048     		y = 0.4140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6015625 × 2 - 1) × π
    0.203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.63813601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4140625 × 2 - 1) × π
    0.171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.539961237320313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63813601} λ = 0.63813601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.539961237320313))-π/2
    2×atan(1.71594034644969)-π/2
    2×1.04314166399364-π/2
    2.08628332798729-1.57079632675     		φ = 0.51548700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63813601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.562500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51548700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.535229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1232 KachelY 848 0.63813601 0.51548700 36.562500 29.535229
    Oben rechts KachelX + 1 1233 KachelY 848 0.64120397 0.51548700 36.738281 29.535229
    Unten links KachelX 1232 KachelY + 1 849 0.63813601 0.51281570 36.562500 29.382175
    Unten rechts KachelX + 1 1233 KachelY + 1 849 0.64120397 0.51281570 36.738281 29.382175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51548700-0.51281570) × R
    0.00267130000000004 × 6371000     		dl = 17018.8523000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51548700-0.51281570) × R
    0.00267130000000004 × 6371000     		dr = 17018.8523000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63813601-0.64120397) × cos(0.51548700) × R
    0.00306795999999998 × 0.870052754632841 × 6371000     		do = 17006.0277898375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63813601-0.64120397) × cos(0.51281570) × R
    0.00306795999999998 × 0.871366489158399 × 6371000     		du = 17031.7060096134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51548700)-sin(0.51281570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870052754632841-0.871366489158399)×R²
    abs(0.64120397-0.63813601)×0.00131373452555816×R²
    0.00306795999999998×0.00131373452555816×6371000²
    0.00306795999999998×0.00131373452555816×40589641000000     		ar = 289641754.316331m²