Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 132 / 86
↖ ↑ ↗
← N 50.736455°
E  5.625000°		 ← 98.963 km → N 50.736455°
E  7.031250°		 →
↑
99.906 km
↓
↑
99.906 km
↓
N 49.837983°
E  5.625000°		 ← 100.850 km →
9 981.42 km²		 N 49.837983°
E  7.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517578125 y=0.337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517578125 × 28)
    floor (0.517578125 × 256)
    floor (132.5)     		tx = 132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337890625 × 28)
    floor (0.337890625 × 256)
    floor (86.5)     		ty = 86
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 132 / 86 ti = "8/132/86"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/132/86.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 132 ÷ 28
    132 ÷ 256     		x = 0.515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86 ÷ 28
    86 ÷ 256     		y = 0.3359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515625 × 2 - 1) × π
    0.03125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09817477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3359375 × 2 - 1) × π
    0.328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03083508942969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09817477} λ = 0.09817477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03083508942969))-π/2
    2×atan(2.80340595213717)-π/2
    2×1.22815725985374-π/2
    2.45631451970748-1.57079632675     		φ = 0.88551819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09817477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88551819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.736455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 132 KachelY 86 0.09817477 0.88551819 5.625000 50.736455
    Oben rechts KachelX + 1 133 KachelY 86 0.12271846 0.88551819 7.031250 50.736455
    Unten links KachelX 132 KachelY + 1 87 0.09817477 0.86983689 5.625000 49.837983
    Unten rechts KachelX + 1 133 KachelY + 1 87 0.12271846 0.86983689 7.031250 49.837983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88551819-0.86983689) × R
    0.0156813 × 6371000     		dl = 99905.5623000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88551819-0.86983689) × R
    0.0156813 × 6371000     		dr = 99905.5623000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09817477-0.12271846) × cos(0.88551819) × R
    0.02454369 × 0.632888381473458 × 6371000     		do = 98963.3948617672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09817477-0.12271846) × cos(0.86983689) × R
    0.02454369 × 0.644951208354603 × 6371000     		du = 100849.633153911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88551819)-sin(0.86983689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632888381473458-0.644951208354603)×R²
    abs(0.12271846-0.09817477)×0.0120628268811447×R²
    0.02454369×0.0120628268811447×6371000²
    0.02454369×0.0120628268811447×40589641000000     		ar = 9981420998.81269m²