Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 136 / 392
↖ ↑ ↗
← S 68.656555°
W 84.375000°		 ← 28.456 km → S 68.656555°
W 83.671875°		 →
↑
28.294 km
↓
↑
28.294 km
↓
S 68.911005°
W 84.375000°		 ← 28.132 km →
800.533 km²		 S 68.911005°
W 83.671875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2666015625 y=0.7666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2666015625 × 29)
    floor (0.2666015625 × 512)
    floor (136.5)     		tx = 136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7666015625 × 29)
    floor (0.7666015625 × 512)
    floor (392.5)     		ty = 392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 136 / 392 ti = "9/136/392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/136/392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 136 ÷ 29
    136 ÷ 512     		x = 0.265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 392 ÷ 29
    392 ÷ 512     		y = 0.765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265625 × 2 - 1) × π
    -0.46875 × 3.1415926535     		Λ = -1.47262156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765625 × 2 - 1) × π
    -0.53125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66897109717187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47262156} λ = -1.47262156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66897109717187))-π/2
    2×atan(0.188440853254186)-π/2
    2×0.186256694625859-π/2
    0.372513389251717-1.57079632675     		φ = -1.19828294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47262156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19828294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.656555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 136 KachelY 392 -1.47262156 -1.19828294 -84.375000 -68.656555
    Oben rechts KachelX + 1 137 KachelY 392 -1.46034971 -1.19828294 -83.671875 -68.656555
    Unten links KachelX 136 KachelY + 1 393 -1.47262156 -1.20272393 -84.375000 -68.911005
    Unten rechts KachelX + 1 137 KachelY + 1 393 -1.46034971 -1.20272393 -83.671875 -68.911005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19828294--1.20272393) × R
    0.0044409900000002 × 6371000     		dl = 28293.5472900013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19828294--1.20272393) × R
    0.0044409900000002 × 6371000     		dr = 28293.5472900013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47262156--1.46034971) × cos(-1.19828294) × R
    0.0122718500000001 × 0.363957586554578 × 6371000     		do = 28455.6440604346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47262156--1.46034971) × cos(-1.20272393) × R
    0.0122718500000001 × 0.359817604079576 × 6371000     		du = 28131.9638513193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19828294)-sin(-1.20272393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363957586554578-0.359817604079576)×R²
    abs(-1.46034971--1.47262156)×0.00413998247500219×R²
    0.0122718500000001×0.00413998247500219×6371000²
    0.0122718500000001×0.00413998247500219×40589641000000     		ar = 800533395.942849m²