Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 138 / 74
↖ ↑ ↗
← N 60.239811°
E 14.062500°		 ← 77.616 km → N 60.239811°
E 15.468750°		 →
↑
78.447 km
↓
↑
78.447 km
↓
N 59.534318°
E 14.062500°		 ← 79.282 km →
6 154.20 km²		 N 59.534318°
E 15.468750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541015625 y=0.291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541015625 × 28)
    floor (0.541015625 × 256)
    floor (138.5)     		tx = 138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291015625 × 28)
    floor (0.291015625 × 256)
    floor (74.5)     		ty = 74
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 138 / 74 ti = "8/138/74"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/138/74.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 138 ÷ 28
    138 ÷ 256     		x = 0.5390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74 ÷ 28
    74 ÷ 256     		y = 0.2890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5390625 × 2 - 1) × π
    0.078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24543693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2890625 × 2 - 1) × π
    0.421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.32535940069531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24543693} λ = 0.24543693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32535940069531))-π/2
    2×atan(3.7635377300401)-π/2
    2×1.31108968623612-π/2
    2.62217937247223-1.57079632675     		φ = 1.05138305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24543693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05138305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.239811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 138 KachelY 74 0.24543693 1.05138305 14.062500 60.239811
    Oben rechts KachelX + 1 139 KachelY 74 0.26998062 1.05138305 15.468750 60.239811
    Unten links KachelX 138 KachelY + 1 75 0.24543693 1.03906987 14.062500 59.534318
    Unten rechts KachelX + 1 139 KachelY + 1 75 0.26998062 1.03906987 15.468750 59.534318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05138305-1.03906987) × R
    0.01231318 × 6371000     		dl = 78447.2697800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05138305-1.03906987) × R
    0.01231318 × 6371000     		dr = 78447.2697800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24543693-0.26998062) × cos(1.05138305) × R
    0.02454369 × 0.496370882698369 × 6371000     		do = 77616.4472288116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24543693-0.26998062) × cos(1.03906987) × R
    0.02454369 × 0.507022186184862 × 6371000     		du = 79281.9686439341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05138305)-sin(1.03906987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.496370882698369-0.507022186184862)×R²
    abs(0.26998062-0.24543693)×0.0106513034864927×R²
    0.02454369×0.0106513034864927×6371000²
    0.02454369×0.0106513034864927×40589641000000     		ar = 6154203934.70414m²