Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 141 / 77
↖ ↑ ↗
← N 58.077876°
E 18.281250°		 ← 82.682 km → N 58.077876°
E 19.687500°		 →
↑
83.547 km
↓
↑
83.547 km
↓
N 57.326521°
E 18.281250°		 ← 84.415 km →
6 980.33 km²		 N 57.326521°
E 19.687500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552734375 y=0.302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552734375 × 28)
    floor (0.552734375 × 256)
    floor (141.5)     		tx = 141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302734375 × 28)
    floor (0.302734375 × 256)
    floor (77.5)     		ty = 77
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 141 / 77 ti = "8/141/77"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/141/77.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 141 ÷ 28
    141 ÷ 256     		x = 0.55078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77 ÷ 28
    77 ÷ 256     		y = 0.30078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55078125 × 2 - 1) × π
    0.1015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31906800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30078125 × 2 - 1) × π
    0.3984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25172832287891
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31906800} λ = 0.31906800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25172832287891))-π/2
    2×atan(3.49638061305668)-π/2
    2×1.29222324510814-π/2
    2.58444649021628-1.57079632675     		φ = 1.01365016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31906800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01365016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.077876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 141 KachelY 77 0.31906800 1.01365016 18.281250 58.077876
    Oben rechts KachelX + 1 142 KachelY 77 0.34361170 1.01365016 19.687500 58.077876
    Unten links KachelX 141 KachelY + 1 78 0.31906800 1.00053654 18.281250 57.326521
    Unten rechts KachelX + 1 142 KachelY + 1 78 0.34361170 1.00053654 19.687500 57.326521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01365016-1.00053654) × R
    0.0131136200000002 × 6371000     		dl = 83546.873020001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01365016-1.00053654) × R
    0.0131136200000002 × 6371000     		dr = 83546.873020001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31906800-0.34361170) × cos(1.01365016) × R
    0.0245437 × 0.528766113348559 × 6371000     		do = 82682.0534508058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31906800-0.34361170) × cos(1.00053654) × R
    0.0245437 × 0.539850745277805 × 6371000     		du = 84415.3342086298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01365016)-sin(1.00053654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528766113348559-0.539850745277805)×R²
    abs(0.34361170-0.31906800)×0.0110846319292459×R²
    0.0245437×0.0110846319292459×6371000²
    0.0245437×0.0110846319292459×40589641000000     		ar = 6980332146.91376m²