Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15362 / 11266
↖ ↑ ↗
← N 48.908060°
W 11.228028°		 ← 802.95 m → N 48.908060°
W 11.217041°		 →
↑
803 m
↓
↑
803 m
↓
N 48.900838°
W 11.228028°		 ← 803.06 m →
644 813 m²		 N 48.900838°
W 11.217041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468826293945312 y=0.343826293945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468826293945312 × 215)
    floor (0.468826293945312 × 32768)
    floor (15362.5)     		tx = 15362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343826293945312 × 215)
    floor (0.343826293945312 × 32768)
    floor (11266.5)     		ty = 11266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15362 / 11266 ti = "15/15362/11266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15362/11266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15362 ÷ 215
    15362 ÷ 32768     		x = 0.46881103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11266 ÷ 215
    11266 ÷ 32768     		y = 0.34381103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46881103515625 × 2 - 1) × π
    -0.0623779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19596605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34381103515625 × 2 - 1) × π
    0.3123779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.98136420902179
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19596605} λ = -0.19596605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.98136420902179))-π/2
    2×atan(2.66809359766546)-π/2
    2×1.21220149703066-π/2
    2.42440299406132-1.57079632675     		φ = 0.85360667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19596605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.228028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85360667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.908060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15362 KachelY 11266 -0.19596605 0.85360667 -11.228028 48.908060
    Oben rechts KachelX + 1 15363 KachelY 11266 -0.19577430 0.85360667 -11.217041 48.908060
    Unten links KachelX 15362 KachelY + 1 11267 -0.19596605 0.85348063 -11.228028 48.900838
    Unten rechts KachelX + 1 15363 KachelY + 1 11267 -0.19577430 0.85348063 -11.217041 48.900838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85360667-0.85348063) × R
    0.000126040000000049 × 6371000     		dl = 803.000840000315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85360667-0.85348063) × R
    0.000126040000000049 × 6371000     		dr = 803.000840000315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19596605--0.19577430) × cos(0.85360667) × R
    0.000191749999999991 × 0.657269238712331 × 6371000     		do = 802.945899828563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19596605--0.19577430) × cos(0.85348063) × R
    0.000191749999999991 × 0.657364224275333 × 6371000     		du = 803.06193792051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85360667)-sin(0.85348063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657269238712331-0.657364224275333)×R²
    abs(-0.19577430--0.19596605)×9.49855630020258e-05×R²
    0.000191749999999991×9.49855630020258e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.49855630020258e-05×40589641000000     		ar = 644812.822233265m²