Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15876 / 11780
↖ ↑ ↗
← N 45.058001°
W  5.581055°		 ← 862.95 m → N 45.058001°
W  5.570068°		 →
↑
863.02 m
↓
↑
863.02 m
↓
N 45.050240°
W  5.581055°		 ← 863.07 m →
744 794 m²		 N 45.050240°
W  5.570068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484512329101562 y=0.359512329101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484512329101562 × 215)
    floor (0.484512329101562 × 32768)
    floor (15876.5)     		tx = 15876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359512329101562 × 215)
    floor (0.359512329101562 × 32768)
    floor (11780.5)     		ty = 11780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15876 / 11780 ti = "15/15876/11780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15876/11780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15876 ÷ 215
    15876 ÷ 32768     		x = 0.4844970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11780 ÷ 215
    11780 ÷ 32768     		y = 0.3594970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4844970703125 × 2 - 1) × π
    -0.031005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09740778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3594970703125 × 2 - 1) × π
    0.281005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.882805943402954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09740778} λ = -0.09740778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.882805943402954))-π/2
    2×atan(2.4176740543173)-π/2
    2×1.17860340309655-π/2
    2.3572068061931-1.57079632675     		φ = 0.78641048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09740778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.581055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78641048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.058001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15876 KachelY 11780 -0.09740778 0.78641048 -5.581055 45.058001
    Oben rechts KachelX + 1 15877 KachelY 11780 -0.09721603 0.78641048 -5.570068 45.058001
    Unten links KachelX 15876 KachelY + 1 11781 -0.09740778 0.78627502 -5.581055 45.050240
    Unten rechts KachelX + 1 15877 KachelY + 1 11781 -0.09721603 0.78627502 -5.570068 45.050240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78641048-0.78627502) × R
    0.000135459999999976 × 6371000     		dl = 863.015659999848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78641048-0.78627502) × R
    0.000135459999999976 × 6371000     		dr = 863.015659999848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09740778--0.09721603) × cos(0.78641048) × R
    0.000191750000000004 × 0.706390603058289 × 6371000     		do = 862.954486527195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09740778--0.09721603) × cos(0.78627502) × R
    0.000191750000000004 × 0.70648647817698 × 6371000     		du = 863.071611335286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78641048)-sin(0.78627502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706390603058289-0.70648647817698)×R²
    abs(-0.09721603--0.09740778)×9.58751186909135e-05×R²
    0.000191750000000004×9.58751186909135e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.58751186909135e-05×40589641000000     		ar = 744793.777151253m²