Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15904 / 11808
↖ ↑ ↗
← N 44.840291°
W  5.273438°		 ← 866.23 m → N 44.840291°
W  5.262451°		 →
↑
866.26 m
↓
↑
866.26 m
↓
N 44.832500°
W  5.273438°		 ← 866.35 m →
750 439 m²		 N 44.832500°
W  5.262451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485366821289062 y=0.360366821289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485366821289062 × 215)
    floor (0.485366821289062 × 32768)
    floor (15904.5)     		tx = 15904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360366821289062 × 215)
    floor (0.360366821289062 × 32768)
    floor (11808.5)     		ty = 11808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15904 / 11808 ti = "15/15904/11808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15904/11808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15904 ÷ 215
    15904 ÷ 32768     		x = 0.4853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11808 ÷ 215
    11808 ÷ 32768     		y = 0.3603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4853515625 × 2 - 1) × π
    -0.029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09203885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3603515625 × 2 - 1) × π
    0.279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.877437010645508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09203885} λ = -0.09203885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.877437010645508))-π/2
    2×atan(2.40472850787118)-π/2
    2×1.17670351809762-π/2
    2.35340703619524-1.57079632675     		φ = 0.78261071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09203885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.273438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78261071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.840291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15904 KachelY 11808 -0.09203885 0.78261071 -5.273438 44.840291
    Oben rechts KachelX + 1 15905 KachelY 11808 -0.09184710 0.78261071 -5.262451 44.840291
    Unten links KachelX 15904 KachelY + 1 11809 -0.09203885 0.78247474 -5.273438 44.832500
    Unten rechts KachelX + 1 15905 KachelY + 1 11809 -0.09184710 0.78247474 -5.262451 44.832500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78261071-0.78247474) × R
    0.000135970000000096 × 6371000     		dl = 866.264870000613m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78261071-0.78247474) × R
    0.000135970000000096 × 6371000     		dr = 866.264870000613m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09203885--0.09184710) × cos(0.78261071) × R
    0.000191750000000004 × 0.709075058762226 × 6371000     		do = 866.233922980012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09203885--0.09184710) × cos(0.78247474) × R
    0.000191750000000004 × 0.709170929142595 × 6371000     		du = 866.351041999583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78261071)-sin(0.78247474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709075058762226-0.709170929142595)×R²
    abs(-0.09184710--0.09203885)×9.58703803686234e-05×R²
    0.000191750000000004×9.58703803686234e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.58703803686234e-05×40589641000000     		ar = 750438.745882134m²