Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16928 / 11040
↖ ↑ ↗
← N 50.513427°
E  5.976562°		 ← 776.84 m → N 50.513427°
E  5.987549°		 →
↑
776.88 m
↓
↑
776.88 m
↓
N 50.506440°
E  5.976562°		 ← 776.95 m →
603 554 m²		 N 50.506440°
E  5.987549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516616821289062 y=0.336929321289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516616821289062 × 215)
    floor (0.516616821289062 × 32768)
    floor (16928.5)     		tx = 16928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336929321289062 × 215)
    floor (0.336929321289062 × 32768)
    floor (11040.5)     		ty = 11040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16928 / 11040 ti = "15/16928/11040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16928/11040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16928 ÷ 215
    16928 ÷ 32768     		x = 0.5166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11040 ÷ 215
    11040 ÷ 32768     		y = 0.3369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5166015625 × 2 - 1) × π
    0.033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10431069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3369140625 × 2 - 1) × π
    0.326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02469916627832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10431069} λ = 0.10431069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02469916627832))-π/2
    2×atan(2.78625713437049)-π/2
    2×1.22621096806257-π/2
    2.45242193612514-1.57079632675     		φ = 0.88162561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10431069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.976562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88162561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.513427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16928 KachelY 11040 0.10431069 0.88162561 5.976562 50.513427
    Oben rechts KachelX + 1 16929 KachelY 11040 0.10450244 0.88162561 5.987549 50.513427
    Unten links KachelX 16928 KachelY + 1 11041 0.10431069 0.88150367 5.976562 50.506440
    Unten rechts KachelX + 1 16929 KachelY + 1 11041 0.10450244 0.88150367 5.987549 50.506440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88162561-0.88150367) × R
    0.000121939999999987 × 6371000     		dl = 776.879739999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88162561-0.88150367) × R
    0.000121939999999987 × 6371000     		dr = 776.879739999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10431069-0.10450244) × cos(0.88162561) × R
    0.000191750000000004 × 0.635897382051354 × 6371000     		do = 776.837200886197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10431069-0.10450244) × cos(0.88150367) × R
    0.000191750000000004 × 0.635991487398567 × 6371000     		du = 776.952163671988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88162561)-sin(0.88150367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635897382051354-0.635991487398567)×R²
    abs(0.10450244-0.10431069)×9.41053472136577e-05×R²
    0.000191750000000004×9.41053472136577e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.41053472136577e-05×40589641000000     		ar = 603553.739524606m²