Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16977 / 10959
↖ ↑ ↗
← N 51.075920°
E  6.514893°		 ← 767.50 m → N 51.075920°
E  6.525879°		 →
↑
767.58 m
↓
↑
767.58 m
↓
N 51.069017°
E  6.514893°		 ← 767.62 m →
589 163 m²		 N 51.069017°
E  6.525879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518112182617188 y=0.334457397460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518112182617188 × 215)
    floor (0.518112182617188 × 32768)
    floor (16977.5)     		tx = 16977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334457397460938 × 215)
    floor (0.334457397460938 × 32768)
    floor (10959.5)     		ty = 10959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16977 / 10959 ti = "15/16977/10959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16977/10959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16977 ÷ 215
    16977 ÷ 32768     		x = 0.518096923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10959 ÷ 215
    10959 ÷ 32768     		y = 0.334442138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518096923828125 × 2 - 1) × π
    0.03619384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11370633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334442138671875 × 2 - 1) × π
    0.33111572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.04023072175522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11370633} λ = 0.11370633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04023072175522))-π/2
    2×atan(2.82986985157598)-π/2
    2×1.23111964767121-π/2
    2.46223929534242-1.57079632675     		φ = 0.89144297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11370633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.514893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89144297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.075920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16977 KachelY 10959 0.11370633 0.89144297 6.514893 51.075920
    Oben rechts KachelX + 1 16978 KachelY 10959 0.11389807 0.89144297 6.525879 51.075920
    Unten links KachelX 16977 KachelY + 1 10960 0.11370633 0.89132249 6.514893 51.069017
    Unten rechts KachelX + 1 16978 KachelY + 1 10960 0.11389807 0.89132249 6.525879 51.069017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89144297-0.89132249) × R
    0.000120479999999978 × 6371000     		dl = 767.578079999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89144297-0.89132249) × R
    0.000120479999999978 × 6371000     		dr = 767.578079999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11370633-0.11389807) × cos(0.89144297) × R
    0.00019174000000001 × 0.628290080474366 × 6371000     		do = 767.503794332156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11370633-0.11389807) × cos(0.89132249) × R
    0.00019174000000001 × 0.628383806843492 × 6371000     		du = 767.618288172134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89144297)-sin(0.89132249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628290080474366-0.628383806843492)×R²
    abs(0.11389807-0.11370633)×9.37263691266343e-05×R²
    0.00019174000000001×9.37263691266343e-05×6371000²
    0.00019174000000001×9.37263691266343e-05×40589641000000     		ar = 589163.031039595m²