Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16980 / 10932
↖ ↑ ↗
← N 51.261915°
E  6.547852°		 ← 764.45 m → N 51.261915°
E  6.558838°		 →
↑
764.52 m
↓
↑
764.52 m
↓
N 51.255040°
E  6.547852°		 ← 764.57 m →
584 484 m²		 N 51.255040°
E  6.558838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518203735351562 y=0.333633422851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518203735351562 × 215)
    floor (0.518203735351562 × 32768)
    floor (16980.5)     		tx = 16980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333633422851562 × 215)
    floor (0.333633422851562 × 32768)
    floor (10932.5)     		ty = 10932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16980 / 10932 ti = "15/16980/10932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16980/10932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16980 ÷ 215
    16980 ÷ 32768     		x = 0.5181884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10932 ÷ 215
    10932 ÷ 32768     		y = 0.3336181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5181884765625 × 2 - 1) × π
    0.036376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11428157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3336181640625 × 2 - 1) × π
    0.332763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04540790691418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11428157} λ = 0.11428157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04540790691418))-π/2
    2×atan(2.84455860215528)-π/2
    2×1.23274276091975-π/2
    2.46548552183951-1.57079632675     		φ = 0.89468920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11428157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.547852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89468920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.261915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16980 KachelY 10932 0.11428157 0.89468920 6.547852 51.261915
    Oben rechts KachelX + 1 16981 KachelY 10932 0.11447332 0.89468920 6.558838 51.261915
    Unten links KachelX 16980 KachelY + 1 10933 0.11428157 0.89456920 6.547852 51.255040
    Unten rechts KachelX + 1 16981 KachelY + 1 10933 0.11447332 0.89456920 6.558838 51.255040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89468920-0.89456920) × R
    0.000120000000000009 × 6371000     		dl = 764.520000000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89468920-0.89456920) × R
    0.000120000000000009 × 6371000     		dr = 764.520000000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11428157-0.11447332) × cos(0.89468920) × R
    0.000191750000000004 × 0.625761275158112 × 6371000     		do = 764.454534863217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11428157-0.11447332) × cos(0.89456920) × R
    0.000191750000000004 × 0.625854872408275 × 6371000     		du = 764.568876937709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89468920)-sin(0.89456920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625761275158112-0.625854872408275)×R²
    abs(0.11447332-0.11428157)×9.35972501633353e-05×R²
    0.000191750000000004×9.35972501633353e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.35972501633353e-05×40589641000000     		ar = 584484.490096748m²