Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16992 / 10942
↖ ↑ ↗
← N 51.193116°
E  6.679688°		 ← 765.60 m → N 51.193116°
E  6.690674°		 →
↑
765.67 m
↓
↑
765.67 m
↓
N 51.186230°
E  6.679688°		 ← 765.71 m →
586 237 m²		 N 51.186230°
E  6.690674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518569946289062 y=0.333938598632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518569946289062 × 215)
    floor (0.518569946289062 × 32768)
    floor (16992.5)     		tx = 16992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333938598632812 × 215)
    floor (0.333938598632812 × 32768)
    floor (10942.5)     		ty = 10942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16992 / 10942 ti = "15/16992/10942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16992/10942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16992 ÷ 215
    16992 ÷ 32768     		x = 0.5185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10942 ÷ 215
    10942 ÷ 32768     		y = 0.33392333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5185546875 × 2 - 1) × π
    0.037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11658254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33392333984375 × 2 - 1) × π
    0.3321533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04349043092938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11658254} λ = 0.11658254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04349043092938))-π/2
    2×atan(2.83910945532196)-π/2
    2×1.23214237107409-π/2
    2.46428474214818-1.57079632675     		φ = 0.89348842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11658254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.679688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89348842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.193116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16992 KachelY 10942 0.11658254 0.89348842 6.679688 51.193116
    Oben rechts KachelX + 1 16993 KachelY 10942 0.11677429 0.89348842 6.690674 51.193116
    Unten links KachelX 16992 KachelY + 1 10943 0.11658254 0.89336824 6.679688 51.186230
    Unten rechts KachelX + 1 16993 KachelY + 1 10943 0.11677429 0.89336824 6.690674 51.186230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89348842-0.89336824) × R
    0.000120179999999914 × 6371000     		dl = 765.666779999454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89348842-0.89336824) × R
    0.000120179999999914 × 6371000     		dr = 765.666779999454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11658254-0.11677429) × cos(0.89348842) × R
    0.000191750000000004 × 0.626697449769167 × 6371000     		do = 765.598202512935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11658254-0.11677429) × cos(0.89336824) × R
    0.000191750000000004 × 0.626791097030668 × 6371000     		du = 765.712605683241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89348842)-sin(0.89336824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626697449769167-0.626791097030668)×R²
    abs(0.11677429-0.11658254)×9.36472615014061e-05×R²
    0.000191750000000004×9.36472615014061e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.36472615014061e-05×40589641000000     		ar = 586236.908551242m²