Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17001 / 10935
↖ ↑ ↗
← N 51.241286°
E  6.778565°		 ← 764.80 m → N 51.241286°
E  6.789551°		 →
↑
764.84 m
↓
↑
764.84 m
↓
N 51.234407°
E  6.778565°		 ← 764.91 m →
584 990 m²		 N 51.234407°
E  6.789551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518844604492188 y=0.333724975585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518844604492188 × 215)
    floor (0.518844604492188 × 32768)
    floor (17001.5)     		tx = 17001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333724975585938 × 215)
    floor (0.333724975585938 × 32768)
    floor (10935.5)     		ty = 10935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17001 / 10935 ti = "15/17001/10935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17001/10935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17001 ÷ 215
    17001 ÷ 32768     		x = 0.518829345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10935 ÷ 215
    10935 ÷ 32768     		y = 0.333709716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518829345703125 × 2 - 1) × π
    0.03765869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11830827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333709716796875 × 2 - 1) × π
    0.33258056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.04483266411874
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11830827} λ = 0.11830827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04483266411874))-π/2
    2×atan(2.84292276086126)-π/2
    2×1.23256273820505-π/2
    2.46512547641011-1.57079632675     		φ = 0.89432915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11830827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.778565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89432915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.241286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17001 KachelY 10935 0.11830827 0.89432915 6.778565 51.241286
    Oben rechts KachelX + 1 17002 KachelY 10935 0.11850002 0.89432915 6.789551 51.241286
    Unten links KachelX 17001 KachelY + 1 10936 0.11830827 0.89420910 6.778565 51.234407
    Unten rechts KachelX + 1 17002 KachelY + 1 10936 0.11850002 0.89420910 6.789551 51.234407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89432915-0.89420910) × R
    0.000120050000000038 × 6371000     		dl = 764.838550000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89432915-0.89420910) × R
    0.000120050000000038 × 6371000     		dr = 764.838550000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11830827-0.11850002) × cos(0.89432915) × R
    0.000191750000000004 × 0.626042078859788 × 6371000     		do = 764.79757568673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11830827-0.11850002) × cos(0.89420910) × R
    0.000191750000000004 × 0.626135688050928 × 6371000     		du = 764.911932348788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89432915)-sin(0.89420910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626042078859788-0.626135688050928)×R²
    abs(0.11850002-0.11830827)×9.36091911398762e-05×R²
    0.000191750000000004×9.36091911398762e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.36091911398762e-05×40589641000000     		ar = 584990.401726481m²