Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17004 / 10940
↖ ↑ ↗
← N 51.206883°
E  6.811523°		 ← 765.37 m → N 51.206883°
E  6.822510°		 →
↑
765.41 m
↓
↑
765.41 m
↓
N 51.200000°
E  6.811523°		 ← 765.48 m →
585 867 m²		 N 51.200000°
E  6.822510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518936157226562 y=0.333877563476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518936157226562 × 215)
    floor (0.518936157226562 × 32768)
    floor (17004.5)     		tx = 17004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333877563476562 × 215)
    floor (0.333877563476562 × 32768)
    floor (10940.5)     		ty = 10940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17004 / 10940 ti = "15/17004/10940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17004/10940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17004 ÷ 215
    17004 ÷ 32768     		x = 0.5189208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10940 ÷ 215
    10940 ÷ 32768     		y = 0.3338623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5189208984375 × 2 - 1) × π
    0.037841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11888351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3338623046875 × 2 - 1) × π
    0.332275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.04387392612634
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11888351} λ = 0.11888351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04387392612634))-π/2
    2×atan(2.84019844896029)-π/2
    2×1.23226252085071-π/2
    2.46452504170142-1.57079632675     		φ = 0.89372871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11888351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.811523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89372871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.206883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17004 KachelY 10940 0.11888351 0.89372871 6.811523 51.206883
    Oben rechts KachelX + 1 17005 KachelY 10940 0.11907526 0.89372871 6.822510 51.206883
    Unten links KachelX 17004 KachelY + 1 10941 0.11888351 0.89360857 6.811523 51.200000
    Unten rechts KachelX + 1 17005 KachelY + 1 10941 0.11907526 0.89360857 6.822510 51.200000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89372871-0.89360857) × R
    0.000120139999999935 × 6371000     		dl = 765.411939999588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89372871-0.89360857) × R
    0.000120139999999935 × 6371000     		dr = 765.411939999588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11888351-0.11907526) × cos(0.89372871) × R
    0.000191750000000004 × 0.626510182651834 × 6371000     		do = 765.369429652167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11888351-0.11907526) × cos(0.89360857) × R
    0.000191750000000004 × 0.626603816836268 × 6371000     		du = 765.483816847013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89372871)-sin(0.89360857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626510182651834-0.626603816836268)×R²
    abs(0.11907526-0.11888351)×9.36341844335331e-05×R²
    0.000191750000000004×9.36341844335331e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.36341844335331e-05×40589641000000     		ar = 585866.67733297m²