Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17009 / 10948
↖ ↑ ↗
← N 51.151786°
E  6.866455°		 ← 766.28 m → N 51.151786°
E  6.877442°		 →
↑
766.37 m
↓
↑
766.37 m
↓
N 51.144894°
E  6.866455°		 ← 766.40 m →
587 300 m²		 N 51.144894°
E  6.877442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519088745117188 y=0.334121704101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519088745117188 × 215)
    floor (0.519088745117188 × 32768)
    floor (17009.5)     		tx = 17009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334121704101562 × 215)
    floor (0.334121704101562 × 32768)
    floor (10948.5)     		ty = 10948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17009 / 10948 ti = "15/17009/10948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17009/10948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17009 ÷ 215
    17009 ÷ 32768     		x = 0.519073486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10948 ÷ 215
    10948 ÷ 32768     		y = 0.3341064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519073486328125 × 2 - 1) × π
    0.03814697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11984225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3341064453125 × 2 - 1) × π
    0.331787109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0423399453385
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11984225} λ = 0.11984225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0423399453385))-π/2
    2×atan(2.83584497902923)-π/2
    2×1.23178170626102-π/2
    2.46356341252204-1.57079632675     		φ = 0.89276709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11984225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.866455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89276709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.151786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17009 KachelY 10948 0.11984225 0.89276709 6.866455 51.151786
    Oben rechts KachelX + 1 17010 KachelY 10948 0.12003400 0.89276709 6.877442 51.151786
    Unten links KachelX 17009 KachelY + 1 10949 0.11984225 0.89264680 6.866455 51.144894
    Unten rechts KachelX + 1 17010 KachelY + 1 10949 0.12003400 0.89264680 6.877442 51.144894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89276709-0.89264680) × R
    0.000120290000000023 × 6371000     		dl = 766.367590000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89276709-0.89264680) × R
    0.000120290000000023 × 6371000     		dr = 766.367590000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11984225-0.12003400) × cos(0.89276709) × R
    0.000191750000000004 × 0.627259392220409 × 6371000     		do = 766.284693467614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11984225-0.12003400) × cos(0.89264680) × R
    0.000191750000000004 × 0.627353070786291 × 6371000     		du = 766.399134880579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89276709)-sin(0.89264680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627259392220409-0.627353070786291)×R²
    abs(0.12003400-0.11984225)×9.36785658817163e-05×R²
    0.000191750000000004×9.36785658817163e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.36785658817163e-05×40589641000000     		ar = 587299.606590128m²