Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17012 / 10996
↖ ↑ ↗
← N 50.819818°
E  6.899414°		 ← 771.78 m → N 50.819818°
E  6.910400°		 →
↑
771.78 m
↓
↑
771.78 m
↓
N 50.812877°
E  6.899414°		 ← 771.90 m →
595 694 m²		 N 50.812877°
E  6.910400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519180297851562 y=0.335586547851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519180297851562 × 215)
    floor (0.519180297851562 × 32768)
    floor (17012.5)     		tx = 17012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335586547851562 × 215)
    floor (0.335586547851562 × 32768)
    floor (10996.5)     		ty = 10996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17012 / 10996 ti = "15/17012/10996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17012/10996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17012 ÷ 215
    17012 ÷ 32768     		x = 0.5191650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10996 ÷ 215
    10996 ÷ 32768     		y = 0.3355712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5191650390625 × 2 - 1) × π
    0.038330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12041749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3355712890625 × 2 - 1) × π
    0.328857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03313606061145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12041749} λ = 0.12041749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03313606061145))-π/2
    2×atan(2.80986393541122)-π/2
    2×1.22888474035801-π/2
    2.45776948071602-1.57079632675     		φ = 0.88697315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12041749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.899414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88697315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.819818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17012 KachelY 10996 0.12041749 0.88697315 6.899414 50.819818
    Oben rechts KachelX + 1 17013 KachelY 10996 0.12060924 0.88697315 6.910400 50.819818
    Unten links KachelX 17012 KachelY + 1 10997 0.12041749 0.88685201 6.899414 50.812877
    Unten rechts KachelX + 1 17013 KachelY + 1 10997 0.12060924 0.88685201 6.910400 50.812877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88697315-0.88685201) × R
    0.000121139999999964 × 6371000     		dl = 771.782939999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88697315-0.88685201) × R
    0.000121139999999964 × 6371000     		dr = 771.782939999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12041749-0.12060924) × cos(0.88697315) × R
    0.000191750000000004 × 0.631761219323209 × 6371000     		do = 771.784302153108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12041749-0.12060924) × cos(0.88685201) × R
    0.000191750000000004 × 0.63185511793994 × 6371000     		du = 771.899012388827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88697315)-sin(0.88685201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631761219323209-0.63185511793994)×R²
    abs(0.12060924-0.12041749)×9.38986167307032e-05×R²
    0.000191750000000004×9.38986167307032e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.38986167307032e-05×40589641000000     		ar = 595694.224191199m²