Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17014 / 10958
↖ ↑ ↗
← N 51.082822°
E  6.921387°		 ← 767.39 m → N 51.082822°
E  6.932373°		 →
↑
767.45 m
↓
↑
767.45 m
↓
N 51.075920°
E  6.921387°		 ← 767.50 m →
588 977 m²		 N 51.075920°
E  6.932373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519241333007812 y=0.334426879882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519241333007812 × 215)
    floor (0.519241333007812 × 32768)
    floor (17014.5)     		tx = 17014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334426879882812 × 215)
    floor (0.334426879882812 × 32768)
    floor (10958.5)     		ty = 10958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17014 / 10958 ti = "15/17014/10958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17014/10958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17014 ÷ 215
    17014 ÷ 32768     		x = 0.51922607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10958 ÷ 215
    10958 ÷ 32768     		y = 0.33441162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51922607421875 × 2 - 1) × π
    0.0384521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12080099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33441162109375 × 2 - 1) × π
    0.3311767578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0404224693537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12080099} λ = 0.12080099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0404224693537))-π/2
    2×atan(2.83041252435047)-π/2
    2×1.23117987973552-π/2
    2.46235975947105-1.57079632675     		φ = 0.89156343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12080099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.921387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89156343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.082822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17014 KachelY 10958 0.12080099 0.89156343 6.921387 51.082822
    Oben rechts KachelX + 1 17015 KachelY 10958 0.12099273 0.89156343 6.932373 51.082822
    Unten links KachelX 17014 KachelY + 1 10959 0.12080099 0.89144297 6.921387 51.075920
    Unten rechts KachelX + 1 17015 KachelY + 1 10959 0.12099273 0.89144297 6.932373 51.075920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89156343-0.89144297) × R
    0.0001204600000001 × 6371000     		dl = 767.450660000637m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89156343-0.89144297) × R
    0.0001204600000001 × 6371000     		dr = 767.450660000637m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12080099-0.12099273) × cos(0.89156343) × R
    0.00019174000000001 × 0.628196360546435 × 6371000     		do = 767.389308360585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12080099-0.12099273) × cos(0.89144297) × R
    0.00019174000000001 × 0.628290080474366 × 6371000     		du = 767.503794332156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89156343)-sin(0.89144297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628196360546435-0.628290080474366)×R²
    abs(0.12099273-0.12080099)×9.37199279308354e-05×R²
    0.00019174000000001×9.37199279308354e-05×6371000²
    0.00019174000000001×9.37199279308354e-05×40589641000000     		ar = 588977.363058017m²