Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17016 / 10952
↖ ↑ ↗
← N 51.124213°
E  6.943359°		 ← 766.74 m → N 51.124213°
E  6.954346°		 →
↑
766.81 m
↓
↑
766.81 m
↓
N 51.117317°
E  6.943359°		 ← 766.86 m →
587 992 m²		 N 51.117317°
E  6.954346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519302368164062 y=0.334243774414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519302368164062 × 215)
    floor (0.519302368164062 × 32768)
    floor (17016.5)     		tx = 17016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334243774414062 × 215)
    floor (0.334243774414062 × 32768)
    floor (10952.5)     		ty = 10952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17016 / 10952 ti = "15/17016/10952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17016/10952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17016 ÷ 215
    17016 ÷ 32768     		x = 0.519287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10952 ÷ 215
    10952 ÷ 32768     		y = 0.334228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519287109375 × 2 - 1) × π
    0.03857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12118448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334228515625 × 2 - 1) × π
    0.33154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04157295494458
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12118448} λ = 0.12118448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04157295494458))-π/2
    2×atan(2.83367074708576)-π/2
    2×1.23154108344519-π/2
    2.46308216689038-1.57079632675     		φ = 0.89228584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12118448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.943359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89228584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.124213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17016 KachelY 10952 0.12118448 0.89228584 6.943359 51.124213
    Oben rechts KachelX + 1 17017 KachelY 10952 0.12137623 0.89228584 6.954346 51.124213
    Unten links KachelX 17016 KachelY + 1 10953 0.12118448 0.89216548 6.943359 51.117317
    Unten rechts KachelX + 1 17017 KachelY + 1 10953 0.12137623 0.89216548 6.954346 51.117317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89228584-0.89216548) × R
    0.000120360000000042 × 6371000     		dl = 766.813560000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89228584-0.89216548) × R
    0.000120360000000042 × 6371000     		dr = 766.813560000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12118448-0.12137623) × cos(0.89228584) × R
    0.000191750000000004 × 0.627634122078673 × 6371000     		do = 766.742478170616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12118448-0.12137623) × cos(0.89216548) × R
    0.000191750000000004 × 0.62772781880953 × 6371000     		du = 766.856941774627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89228584)-sin(0.89216548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627634122078673-0.62772781880953)×R²
    abs(0.12137623-0.12118448)×9.36967308565739e-05×R²
    0.000191750000000004×9.36967308565739e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.36967308565739e-05×40589641000000     		ar = 587992.416120652m²