Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17019 / 10939
↖ ↑ ↗
← N 51.213766°
E  6.976319°		 ← 765.22 m → N 51.213766°
E  6.987305°		 →
↑
765.35 m
↓
↑
765.35 m
↓
N 51.206883°
E  6.976319°		 ← 765.33 m →
585 700 m²		 N 51.206883°
E  6.987305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519393920898438 y=0.333847045898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519393920898438 × 215)
    floor (0.519393920898438 × 32768)
    floor (17019.5)     		tx = 17019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333847045898438 × 215)
    floor (0.333847045898438 × 32768)
    floor (10939.5)     		ty = 10939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17019 / 10939 ti = "15/17019/10939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17019/10939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17019 ÷ 215
    17019 ÷ 32768     		x = 0.519378662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10939 ÷ 215
    10939 ÷ 32768     		y = 0.333831787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519378662109375 × 2 - 1) × π
    0.03875732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12175973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333831787109375 × 2 - 1) × π
    0.33233642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04406567372482
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12175973} λ = 0.12175973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04406567372482))-π/2
    2×atan(2.84074310240842)-π/2
    2×1.23232258227345-π/2
    2.4646451645469-1.57079632675     		φ = 0.89384884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12175973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.976319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89384884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.213766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17019 KachelY 10939 0.12175973 0.89384884 6.976319 51.213766
    Oben rechts KachelX + 1 17020 KachelY 10939 0.12195147 0.89384884 6.987305 51.213766
    Unten links KachelX 17019 KachelY + 1 10940 0.12175973 0.89372871 6.976319 51.206883
    Unten rechts KachelX + 1 17020 KachelY + 1 10940 0.12195147 0.89372871 6.987305 51.206883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89384884-0.89372871) × R
    0.000120129999999996 × 6371000     		dl = 765.348229999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89384884-0.89372871) × R
    0.000120129999999996 × 6371000     		dr = 765.348229999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12175973-0.12195147) × cos(0.89384884) × R
    0.00019174000000001 × 0.626416547219476 × 6371000     		do = 765.215131934605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12175973-0.12195147) × cos(0.89372871) × R
    0.00019174000000001 × 0.626510182651834 × 6371000     		du = 765.329514688452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89384884)-sin(0.89372871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626416547219476-0.626510182651834)×R²
    abs(0.12195147-0.12175973)×9.36354323582966e-05×R²
    0.00019174000000001×9.36354323582966e-05×6371000²
    0.00019174000000001×9.36354323582966e-05×40589641000000     		ar = 585699.818819092m²