Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17020 / 10964
↖ ↑ ↗
← N 51.041394°
E  6.987305°		 ← 768.12 m → N 51.041394°
E  6.998291°		 →
↑
768.15 m
↓
↑
768.15 m
↓
N 51.034486°
E  6.987305°		 ← 768.23 m →
590 074 m²		 N 51.034486°
E  6.998291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519424438476562 y=0.334609985351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519424438476562 × 215)
    floor (0.519424438476562 × 32768)
    floor (17020.5)     		tx = 17020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334609985351562 × 215)
    floor (0.334609985351562 × 32768)
    floor (10964.5)     		ty = 10964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17020 / 10964 ti = "15/17020/10964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17020/10964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17020 ÷ 215
    17020 ÷ 32768     		x = 0.5194091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10964 ÷ 215
    10964 ÷ 32768     		y = 0.3345947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5194091796875 × 2 - 1) × π
    0.038818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12195147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3345947265625 × 2 - 1) × π
    0.330810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03927198376282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12195147} λ = 0.12195147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03927198376282))-π/2
    2×atan(2.82715804799801)-π/2
    2×1.23081835255293-π/2
    2.46163670510587-1.57079632675     		φ = 0.89084038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12195147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.987305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89084038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.041394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17020 KachelY 10964 0.12195147 0.89084038 6.987305 51.041394
    Oben rechts KachelX + 1 17021 KachelY 10964 0.12214322 0.89084038 6.998291 51.041394
    Unten links KachelX 17020 KachelY + 1 10965 0.12195147 0.89071981 6.987305 51.034486
    Unten rechts KachelX + 1 17021 KachelY + 1 10965 0.12214322 0.89071981 6.998291 51.034486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89084038-0.89071981) × R
    0.000120569999999987 × 6371000     		dl = 768.151469999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89084038-0.89071981) × R
    0.000120569999999987 × 6371000     		dr = 768.151469999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12195147-0.12214322) × cos(0.89084038) × R
    0.000191749999999991 × 0.628758768837873 × 6371000     		do = 768.116390793985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12195147-0.12214322) × cos(0.89071981) × R
    0.000191749999999991 × 0.628852519549913 × 6371000     		du = 768.230920343529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89084038)-sin(0.89071981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628758768837873-0.628852519549913)×R²
    abs(0.12214322-0.12195147)×9.37507120403192e-05×R²
    0.000191749999999991×9.37507120403192e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.37507120403192e-05×40589641000000     		ar = 590073.723454861m²