Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17040 / 10992
↖ ↑ ↗
← N 50.847573°
E  7.207031°		 ← 771.33 m → N 50.847573°
E  7.218017°		 →
↑
771.34 m
↓
↑
771.34 m
↓
N 50.840636°
E  7.207031°		 ← 771.44 m →
594 996 m²		 N 50.840636°
E  7.218017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520034790039062 y=0.335464477539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520034790039062 × 215)
    floor (0.520034790039062 × 32768)
    floor (17040.5)     		tx = 17040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335464477539062 × 215)
    floor (0.335464477539062 × 32768)
    floor (10992.5)     		ty = 10992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17040 / 10992 ti = "15/17040/10992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17040/10992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17040 ÷ 215
    17040 ÷ 32768     		x = 0.52001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10992 ÷ 215
    10992 ÷ 32768     		y = 0.33544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52001953125 × 2 - 1) × π
    0.0400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12578642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33544921875 × 2 - 1) × π
    0.3291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03390305100537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12578642} λ = 0.12578642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03390305100537))-π/2
    2×atan(2.81201990075457)-π/2
    2×1.22912694573276-π/2
    2.45825389146552-1.57079632675     		φ = 0.88745756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12578642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.207031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88745756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.847573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17040 KachelY 10992 0.12578642 0.88745756 7.207031 50.847573
    Oben rechts KachelX + 1 17041 KachelY 10992 0.12597817 0.88745756 7.218017 50.847573
    Unten links KachelX 17040 KachelY + 1 10993 0.12578642 0.88733649 7.207031 50.840636
    Unten rechts KachelX + 1 17041 KachelY + 1 10993 0.12597817 0.88733649 7.218017 50.840636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88745756-0.88733649) × R
    0.000121069999999945 × 6371000     		dl = 771.336969999652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88745756-0.88733649) × R
    0.000121069999999945 × 6371000     		dr = 771.336969999652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12578642-0.12597817) × cos(0.88745756) × R
    0.000191749999999991 × 0.6313856484801 × 6371000     		do = 771.325490069954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12578642-0.12597817) × cos(0.88733649) × R
    0.000191749999999991 × 0.63147952988374 × 6371000     		du = 771.440179277487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88745756)-sin(0.88733649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6313856484801-0.63147952988374)×R²
    abs(0.12597817-0.12578642)×9.38814036408608e-05×R²
    0.000191749999999991×9.38814036408608e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.38814036408608e-05×40589641000000     		ar = 594996.099134118m²