Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17042 / 10994
↖ ↑ ↗
← N 50.833698°
E  7.229004°		 ← 771.55 m → N 50.833698°
E  7.239990°		 →
↑
771.66 m
↓
↑
771.66 m
↓
N 50.826758°
E  7.229004°		 ← 771.67 m →
595 419 m²		 N 50.826758°
E  7.239990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520095825195312 y=0.335525512695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520095825195312 × 215)
    floor (0.520095825195312 × 32768)
    floor (17042.5)     		tx = 17042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335525512695312 × 215)
    floor (0.335525512695312 × 32768)
    floor (10994.5)     		ty = 10994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17042 / 10994 ti = "15/17042/10994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17042/10994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17042 ÷ 215
    17042 ÷ 32768     		x = 0.52008056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10994 ÷ 215
    10994 ÷ 32768     		y = 0.33551025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52008056640625 × 2 - 1) × π
    0.0401611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12616992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33551025390625 × 2 - 1) × π
    0.3289794921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03351955580841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12616992} λ = 0.12616992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03351955580841))-π/2
    2×atan(2.81094171138231)-π/2
    2×1.22900586104911-π/2
    2.45801172209823-1.57079632675     		φ = 0.88721540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12616992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.229004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88721540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.833698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17042 KachelY 10994 0.12616992 0.88721540 7.229004 50.833698
    Oben rechts KachelX + 1 17043 KachelY 10994 0.12636167 0.88721540 7.239990 50.833698
    Unten links KachelX 17042 KachelY + 1 10995 0.12616992 0.88709428 7.229004 50.826758
    Unten rechts KachelX + 1 17043 KachelY + 1 10995 0.12636167 0.88709428 7.239990 50.826758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88721540-0.88709428) × R
    0.000121119999999975 × 6371000     		dl = 771.655519999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88721540-0.88709428) × R
    0.000121119999999975 × 6371000     		dr = 771.655519999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12616992-0.12636167) × cos(0.88721540) × R
    0.000191750000000018 × 0.631573417537511 × 6371000     		do = 771.554876120535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12616992-0.12636167) × cos(0.88709428) × R
    0.000191750000000018 × 0.631667319187842 × 6371000     		du = 771.669590062219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88721540)-sin(0.88709428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631573417537511-0.631667319187842)×R²
    abs(0.12636167-0.12616992)×9.3901650330741e-05×R²
    0.000191750000000018×9.3901650330741e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.3901650330741e-05×40589641000000     		ar = 595418.839692917m²