Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17052 / 10908
↖ ↑ ↗
← N 51.426615°
E  7.338867°		 ← 761.67 m → N 51.426615°
E  7.349853°		 →
↑
761.78 m
↓
↑
761.78 m
↓
N 51.419764°
E  7.338867°		 ← 761.79 m →
580 271 m²		 N 51.419764°
E  7.349853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520401000976562 y=0.332901000976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520401000976562 × 215)
    floor (0.520401000976562 × 32768)
    floor (17052.5)     		tx = 17052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332901000976562 × 215)
    floor (0.332901000976562 × 32768)
    floor (10908.5)     		ty = 10908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17052 / 10908 ti = "15/17052/10908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17052/10908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17052 ÷ 215
    17052 ÷ 32768     		x = 0.5203857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10908 ÷ 215
    10908 ÷ 32768     		y = 0.3328857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5203857421875 × 2 - 1) × π
    0.040771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12808740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3328857421875 × 2 - 1) × π
    0.334228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05000984927771
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12808740} λ = 0.12808740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05000984927771))-π/2
    2×atan(2.85767926400123)-π/2
    2×1.23418003645199-π/2
    2.46836007290399-1.57079632675     		φ = 0.89756375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12808740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.338867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89756375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.426615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17052 KachelY 10908 0.12808740 0.89756375 7.338867 51.426615
    Oben rechts KachelX + 1 17053 KachelY 10908 0.12827914 0.89756375 7.349853 51.426615
    Unten links KachelX 17052 KachelY + 1 10909 0.12808740 0.89744418 7.338867 51.419764
    Unten rechts KachelX + 1 17053 KachelY + 1 10909 0.12827914 0.89744418 7.349853 51.419764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89756375-0.89744418) × R
    0.000119569999999958 × 6371000     		dl = 761.780469999731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89756375-0.89744418) × R
    0.000119569999999958 × 6371000     		dr = 761.780469999731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12808740-0.12827914) × cos(0.89756375) × R
    0.000191740000000024 × 0.623516501842158 × 6371000     		do = 761.672507436839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12808740-0.12827914) × cos(0.89744418) × R
    0.000191740000000024 × 0.623609978429055 × 6371000     		du = 761.786696148955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89756375)-sin(0.89744418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623516501842158-0.623609978429055)×R²
    abs(0.12827914-0.12808740)×9.34765868962906e-05×R²
    0.000191740000000024×9.34765868962906e-05×6371000²
    0.000191740000000024×9.34765868962906e-05×40589641000000     		ar = 580270.734757332m²