Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17055 / 10913
↖ ↑ ↗
← N 51.392351°
E  7.371826°		 ← 762.28 m → N 51.392351°
E  7.382813°		 →
↑
762.29 m
↓
↑
762.29 m
↓
N 51.385495°
E  7.371826°		 ← 762.40 m →
581 125 m²		 N 51.385495°
E  7.382813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520492553710938 y=0.333053588867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520492553710938 × 215)
    floor (0.520492553710938 × 32768)
    floor (17055.5)     		tx = 17055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333053588867188 × 215)
    floor (0.333053588867188 × 32768)
    floor (10913.5)     		ty = 10913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17055 / 10913 ti = "15/17055/10913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17055/10913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17055 ÷ 215
    17055 ÷ 32768     		x = 0.520477294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10913 ÷ 215
    10913 ÷ 32768     		y = 0.333038330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520477294921875 × 2 - 1) × π
    0.04095458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12866264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333038330078125 × 2 - 1) × π
    0.33392333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04905111128531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12866264} λ = 0.12866264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04905111128531))-π/2
    2×atan(2.85494081125984)-π/2
    2×1.23388102994241-π/2
    2.46776205988482-1.57079632675     		φ = 0.89696573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12866264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.371826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89696573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.392351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17055 KachelY 10913 0.12866264 0.89696573 7.371826 51.392351
    Oben rechts KachelX + 1 17056 KachelY 10913 0.12885439 0.89696573 7.382813 51.392351
    Unten links KachelX 17055 KachelY + 1 10914 0.12866264 0.89684608 7.371826 51.385495
    Unten rechts KachelX + 1 17056 KachelY + 1 10914 0.12885439 0.89684608 7.382813 51.385495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89696573-0.89684608) × R
    0.000119650000000027 × 6371000     		dl = 762.29015000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89696573-0.89684608) × R
    0.000119650000000027 × 6371000     		dr = 762.29015000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12866264-0.12885439) × cos(0.89696573) × R
    0.000191750000000018 × 0.623983928450182 × 6371000     		do = 762.283258364007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12866264-0.12885439) × cos(0.89684608) × R
    0.000191750000000018 × 0.624077422941323 × 6371000     		du = 762.397474904043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89696573)-sin(0.89684608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623983928450182-0.624077422941323)×R²
    abs(0.12885439-0.12866264)×9.34944911405999e-05×R²
    0.000191750000000018×9.34944911405999e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.34944911405999e-05×40589641000000     		ar = 581124.553125938m²