Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17057 / 10911
↖ ↑ ↗
← N 51.406059°
E  7.393799°		 ← 762.05 m → N 51.406059°
E  7.404785°		 →
↑
762.10 m
↓
↑
762.10 m
↓
N 51.399206°
E  7.393799°		 ← 762.17 m →
580 805 m²		 N 51.399206°
E  7.404785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520553588867188 y=0.332992553710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520553588867188 × 215)
    floor (0.520553588867188 × 32768)
    floor (17057.5)     		tx = 17057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332992553710938 × 215)
    floor (0.332992553710938 × 32768)
    floor (10911.5)     		ty = 10911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17057 / 10911 ti = "15/17057/10911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17057/10911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17057 ÷ 215
    17057 ÷ 32768     		x = 0.520538330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10911 ÷ 215
    10911 ÷ 32768     		y = 0.332977294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520538330078125 × 2 - 1) × π
    0.04107666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12904613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332977294921875 × 2 - 1) × π
    0.33404541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.04943460648227
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12904613} λ = 0.12904613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04943460648227))-π/2
    2×atan(2.85603587731143)-π/2
    2×1.23400065943455-π/2
    2.46800131886911-1.57079632675     		φ = 0.89720499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12904613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.393799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89720499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.406059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17057 KachelY 10911 0.12904613 0.89720499 7.393799 51.406059
    Oben rechts KachelX + 1 17058 KachelY 10911 0.12923788 0.89720499 7.404785 51.406059
    Unten links KachelX 17057 KachelY + 1 10912 0.12904613 0.89708537 7.393799 51.399206
    Unten rechts KachelX + 1 17058 KachelY + 1 10912 0.12923788 0.89708537 7.404785 51.399206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89720499-0.89708537) × R
    0.000119619999999987 × 6371000     		dl = 762.099019999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89720499-0.89708537) × R
    0.000119619999999987 × 6371000     		dr = 762.099019999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12904613-0.12923788) × cos(0.89720499) × R
    0.000191749999999991 × 0.623796943933607 × 6371000     		do = 762.054830739306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12904613-0.12923788) × cos(0.89708537) × R
    0.000191749999999991 × 0.62389043284113 × 6371000     		du = 762.169040458175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89720499)-sin(0.89708537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623796943933607-0.62389043284113)×R²
    abs(0.12923788-0.12904613)×9.34889075225875e-05×R²
    0.000191749999999991×9.34889075225875e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.34889075225875e-05×40589641000000     		ar = 580804.759942964m²