Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17058 / 10914
↖ ↑ ↗
← N 51.385495°
E  7.404785°		 ← 762.40 m → N 51.385495°
E  7.415772°		 →
↑
762.48 m
↓
↑
762.48 m
↓
N 51.378638°
E  7.404785°		 ← 762.51 m →
581 357 m²		 N 51.378638°
E  7.415772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520584106445312 y=0.333084106445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520584106445312 × 215)
    floor (0.520584106445312 × 32768)
    floor (17058.5)     		tx = 17058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333084106445312 × 215)
    floor (0.333084106445312 × 32768)
    floor (10914.5)     		ty = 10914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17058 / 10914 ti = "15/17058/10914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17058/10914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17058 ÷ 215
    17058 ÷ 32768     		x = 0.52056884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10914 ÷ 215
    10914 ÷ 32768     		y = 0.33306884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52056884765625 × 2 - 1) × π
    0.0411376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12923788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33306884765625 × 2 - 1) × π
    0.3338623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04885936368683
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12923788} λ = 0.12923788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04885936368683))-π/2
    2×atan(2.85439343569613)-π/2
    2×1.23382120175072-π/2
    2.46764240350144-1.57079632675     		φ = 0.89684608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12923788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.404785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89684608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.385495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17058 KachelY 10914 0.12923788 0.89684608 7.404785 51.385495
    Oben rechts KachelX + 1 17059 KachelY 10914 0.12942963 0.89684608 7.415772 51.385495
    Unten links KachelX 17058 KachelY + 1 10915 0.12923788 0.89672640 7.404785 51.378638
    Unten rechts KachelX + 1 17059 KachelY + 1 10915 0.12942963 0.89672640 7.415772 51.378638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89684608-0.89672640) × R
    0.000119679999999955 × 6371000     		dl = 762.481279999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89684608-0.89672640) × R
    0.000119679999999955 × 6371000     		dr = 762.481279999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12923788-0.12942963) × cos(0.89684608) × R
    0.000191749999999991 × 0.624077422941323 × 6371000     		do = 762.397474903933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12923788-0.12942963) × cos(0.89672640) × R
    0.000191749999999991 × 0.624170931936729 × 6371000     		du = 762.511709162949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89684608)-sin(0.89672640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624077422941323-0.624170931936729)×R²
    abs(0.12942963-0.12923788)×9.35089954063884e-05×R²
    0.000191749999999991×9.35089954063884e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.35089954063884e-05×40589641000000     		ar = 581357.353969343m²