Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17060 / 10917
↖ ↑ ↗
← N 51.364921°
E  7.426758°		 ← 762.70 m → N 51.364921°
E  7.437744°		 →
↑
762.80 m
↓
↑
762.80 m
↓
N 51.358061°
E  7.426758°		 ← 762.81 m →
581 831 m²		 N 51.358061°
E  7.437744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520645141601562 y=0.333175659179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520645141601562 × 215)
    floor (0.520645141601562 × 32768)
    floor (17060.5)     		tx = 17060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333175659179688 × 215)
    floor (0.333175659179688 × 32768)
    floor (10917.5)     		ty = 10917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17060 / 10917 ti = "15/17060/10917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17060/10917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17060 ÷ 215
    17060 ÷ 32768     		x = 0.5206298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10917 ÷ 215
    10917 ÷ 32768     		y = 0.333160400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5206298828125 × 2 - 1) × π
    0.041259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12962138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333160400390625 × 2 - 1) × π
    0.33367919921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04828412089139
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12962138} λ = 0.12962138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04828412089139))-π/2
    2×atan(2.85275193861184)-π/2
    2×1.23364166338735-π/2
    2.4672833267747-1.57079632675     		φ = 0.89648700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12962138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.426758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89648700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.364921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17060 KachelY 10917 0.12962138 0.89648700 7.426758 51.364921
    Oben rechts KachelX + 1 17061 KachelY 10917 0.12981312 0.89648700 7.437744 51.364921
    Unten links KachelX 17060 KachelY + 1 10918 0.12962138 0.89636727 7.426758 51.358061
    Unten rechts KachelX + 1 17061 KachelY + 1 10918 0.12981312 0.89636727 7.437744 51.358061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89648700-0.89636727) × R
    0.000119729999999985 × 6371000     		dl = 762.799829999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89648700-0.89636727) × R
    0.000119729999999985 × 6371000     		dr = 762.799829999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12962138-0.12981312) × cos(0.89648700) × R
    0.000191739999999996 × 0.624357954351171 × 6371000     		do = 762.70040523981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12962138-0.12981312) × cos(0.89636727) × R
    0.000191739999999996 × 0.624451475572185 × 6371000     		du = 762.814648475872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89648700)-sin(0.89636727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624357954351171-0.624451475572185)×R²
    abs(0.12981312-0.12962138)×9.35212210138037e-05×R²
    0.000191739999999996×9.35212210138037e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.35212210138037e-05×40589641000000     		ar = 581831.312513361m²