Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17064 / 10920
↖ ↑ ↗
← N 51.344339°
E  7.470703°		 ← 763.04 m → N 51.344339°
E  7.481689°		 →
↑
763.12 m
↓
↑
763.12 m
↓
N 51.337476°
E  7.470703°		 ← 763.16 m →
582 336 m²		 N 51.337476°
E  7.481689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520767211914062 y=0.333267211914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520767211914062 × 215)
    floor (0.520767211914062 × 32768)
    floor (17064.5)     		tx = 17064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333267211914062 × 215)
    floor (0.333267211914062 × 32768)
    floor (10920.5)     		ty = 10920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17064 / 10920 ti = "15/17064/10920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17064/10920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17064 ÷ 215
    17064 ÷ 32768     		x = 0.520751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10920 ÷ 215
    10920 ÷ 32768     		y = 0.333251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520751953125 × 2 - 1) × π
    0.04150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13038837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333251953125 × 2 - 1) × π
    0.33349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04770887809595
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13038837} λ = 0.13038837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04770887809595))-π/2
    2×atan(2.85111138551539)-π/2
    2×1.23346204433133-π/2
    2.46692408866266-1.57079632675     		φ = 0.89612776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13038837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.470703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89612776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.344339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17064 KachelY 10920 0.13038837 0.89612776 7.470703 51.344339
    Oben rechts KachelX + 1 17065 KachelY 10920 0.13058011 0.89612776 7.481689 51.344339
    Unten links KachelX 17064 KachelY + 1 10921 0.13038837 0.89600798 7.470703 51.337476
    Unten rechts KachelX + 1 17065 KachelY + 1 10921 0.13058011 0.89600798 7.481689 51.337476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89612776-0.89600798) × R
    0.000119780000000014 × 6371000     		dl = 763.118380000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89612776-0.89600798) × R
    0.000119780000000014 × 6371000     		dr = 763.118380000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13038837-0.13058011) × cos(0.89612776) × R
    0.000191739999999996 × 0.624638530203526 × 6371000     		do = 763.043149838162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13038837-0.13058011) × cos(0.89600798) × R
    0.000191739999999996 × 0.624732063603693 × 6371000     		du = 763.157407951978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89612776)-sin(0.89600798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624638530203526-0.624732063603693)×R²
    abs(0.13058011-0.13038837)×9.3533400166268e-05×R²
    0.000191739999999996×9.3533400166268e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.3533400166268e-05×40589641000000     		ar = 582335.849304219m²